ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1371 Алимов — Подробные Ответы

1. (корень 3) sin 2 х — cos 2x = корень 3;
2. 6 sin x + 5 cosx = 6.

1) $\sqrt{3} \sin 2x — \cos 2x = \sqrt{3}$;

$\sqrt{3} \cdot (\sin 2x — 1) — \cos 2x = 0$;

$\sqrt{3} \cdot (2 \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x — \sin^2 x) — (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0$;

$-\sqrt{3} \cdot (\cos x — \sin x)^2 — (\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x) = 0$;

$(\cos x — \sin x)\left(\sqrt{3}(\cos x — \sin x) + (\cos x + \sin x)\right) = 0$;

$(\cos x — \sin x)\left(\cos x (\sqrt{3} + 1) — \sin x (\sqrt{3} — 1)\right) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x$;

$1 — \operatorname{tg} x = 0$;

$\operatorname{tg} x = 1$;

$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе уравнение:

$\cos x (\sqrt{3} + 1) — \sin x (\sqrt{3} — 1) = 0 \quad | : \cos x$;

$(\sqrt{3} + 1) — \operatorname{tg} x (\sqrt{3} — 1) = 0$;

$\operatorname{tg} x (\sqrt{3} — 1) = \sqrt{3} + 1$;

$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}$;

$x = \arctg \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} + \pi n$.

2) $6 \sin x + 5 \cos x = 6$;

$12 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + 5 \cos^2 \frac{x}{2} — 5 \sin^2 \frac{x}{2} = 6 \cos^2 \frac{x}{2} + 6 \sin^2 \frac{x}{2}$;

$12 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} — 11 \sin^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2}$;

$12 \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 1 — 11 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$12y — 1 — 11y^2 = 0$;

$11y^2 — 12y + 1 = 0$;

$D = 12^2 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100$, тогда:

$y_1 = \frac{12 — 10}{2 \cdot 11} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$;

$y_2 = \frac{12 + 10}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$;

Первое уравнение:

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1}{11}$;

$x = 2 \cdot \left( \arctg \frac{1}{11} + \pi n \right) = 2 \arctg \frac{1}{11} + 2 \pi n$;

Второе уравнение:

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 1$;

$\frac{x}{2} = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$;

Ответ: $2 \arctg \frac{1}{11} + 2 \pi n; \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$.

Задача 1

Уравнение 1:

$$\sqrt{3} \sin 2x — \cos 2x = \sqrt{3}$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$\sqrt{3} \sin 2x — \cos 2x — \sqrt{3} = 0$$

Далее, группируем слагаемые:

$$\sqrt{3} \cdot (\sin 2x — 1) — \cos 2x = 0$$

Используем формулы для синуса и косинуса двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем эти выражения в уравнение:

$$\sqrt{3} \cdot (2 \sin x \cos x — \cos^2 x — \sin^2 x) — (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0$$

Теперь группируем слагаемые, имеющие вид $\cos^2 x — \sin^2 x$:

$$\sqrt{3} \cdot (2 \sin x \cos x — \cos^2 x — \sin^2 x) — (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0$$

Используем разложение $(\cos x — \sin x)^2$ и $(\cos x + \sin x)$:

$$-\sqrt{3} \cdot (\cos x — \sin x)^2 — (\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x) = 0$$

Теперь приводим уравнение к виду:

$$(\cos x — \sin x) \left(\sqrt{3} (\cos x — \sin x) + (\cos x + \sin x)\right) = 0$$

Решение состоит в том, чтобы рассмотреть два случая:

1. $\cos x — \sin x = 0$
2. $\sqrt{3} (\cos x — \sin x) + (\cos x + \sin x) = 0$

Решение для первого уравнения:

$$\cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x$$

Получаем:

$$1 — \operatorname{tg} x = 0$$

Таким образом:

$$\operatorname{tg} x = 1$$

Это означает, что:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Решение для второго уравнения:

$$\cos x (\sqrt{3} + 1) — \sin x (\sqrt{3} — 1) = 0 \quad | : \cos x$$

Получаем:

$$(\sqrt{3} + 1) — \operatorname{tg} x (\sqrt{3} — 1) = 0$$

Решаем для $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}$$

Тогда:

$$x = \arctg \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \right) + \pi n$$

Таким образом, полное решение задачи:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \arctg \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \right) + \pi n$$

Задача 2

Уравнение 1:

$$6 \sin x + 5 \cos x = 6$$

Перепишем его с использованием полусумм и полуд差ов (формул половины угла):

$$12 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + 5 \cos^2 \frac{x}{2} — 5 \sin^2 \frac{x}{2} = 6 \cos^2 \frac{x}{2} + 6 \sin^2 \frac{x}{2}$$

После упрощения мы получаем:

$$12 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} — 11 \sin^2 \frac{x}{2} = 0$$

Делим обе части на $\cos^2 \frac{x}{2}$:

$$12 \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 1 — 11 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = 0$$

Вводим замену $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, и получаем квадратное уравнение:

$$11y^2 — 12y + 1 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 12^2 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{12 — 10}{2 \cdot 11} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$$ $$y_2 = \frac{12 + 10}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$$

Теперь решим каждое из уравнений:

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1}{11}$

$$x = 2 \left( \arctg \frac{1}{11} + \pi n \right) = 2 \arctg \frac{1}{11} + 2 \pi n$$

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 1$

$$\frac{x}{2} = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = 2 \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$$

Ответ:

$$x = 2 \arctg \frac{1}{11} + 2 \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$$