ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1370 Алимов — Подробные Ответы

1. 4 sin4 x + sin2 2x = 2;
2. sin4x/3 + cos4x/3=5/8.

1)

$$4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 2;$$ $$4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x = 2;$$ $$4 \sin^2 x \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x) = 2;$$ $$2 \sin^2 x \cdot 1 = 1;$$ $$\sin^2 x = \frac{1}{2};$$ $$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4} + \pi n$.

2)

$$\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8};$$ $$\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} + 2 \sin^2 \frac{x}{3} \cdot \cos^2 \frac{x}{3} — 2 \sin^2 \frac{x}{3} \cdot \cos^2 \frac{x}{3} = \frac{5}{8};$$ $$\left( \sin^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} \right)^2 — 2 \sin^2 \frac{x}{3} \cdot \cos^2 \frac{x}{3} = \frac{5}{8};$$ $$1^2 — \frac{1}{2} \sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{5}{8};$$ $$\frac{1}{2} \sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{3}{8};$$ $$\sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{3}{4};$$ $$\sin \frac{2x}{3} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\frac{2x}{3} = \pm \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{3}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2};$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}$.

1) Уравнение: $4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 2$

Шаг 1: Преобразуем выражение $\sin^2 2x$

Для начала используем известную формулу для $\sin 2x$:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Тогда:

$$\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$$4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель

В уравнении $4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2$ можно вынести общий множитель $4 \sin^2 x$:

$$4 \sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 2$$

Шаг 3: Упростим с использованием тригонометрической тождества

Мы знаем, что:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Таким образом, уравнение упрощается до:

$$4 \sin^2 x \cdot 1 = 2$$ $$4 \sin^2 x = 2$$

Шаг 4: Найдем $\sin^2 x$

Теперь делим обе части уравнения на 4:

$$\sin^2 x = \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Находим значение $\sin x$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6: Определяем значение $x$

Используем арксинус для нахождения угла, при котором $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Значение $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, поэтому получаем:

$$x = \pm \frac{\pi}{4}$$

Так как синус имеет периодичность $2\pi$, добавляем $\pi n$, где $n$ — целое число:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$

2) Уравнение: $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$

Шаг 1: Применим формулу для суммы четвертых степеней

Используем тождество для суммы четвертых степеней:

$$\sin^4 y + \cos^4 y = \left( \sin^2 y + \cos^2 y \right)^2 — 2 \sin^2 y \cos^2 y$$

Подставим в уравнение $y = \frac{x}{3}$:

$$\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \left( \sin^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} \right)^2 — 2 \sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3}$$

Зная, что $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, упростим:

$$\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = 1^2 — 2 \sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3}$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$1 — 2 \sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$$

Шаг 2: Преобразуем уравнение

Вынесем все элементы в одну сторону:

$$2 \sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} = 1 — \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$$

Шаг 3: Применим тождество для $\sin 2y$

Используем следующее тождество:

$$\sin 2y = 2 \sin y \cos y \quad \Rightarrow \quad \sin^2 2y = 4 \sin^2 y \cos^2 y$$

Таким образом, мы можем заменить $2 \sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3}$ на $\frac{1}{2} \sin^2 \frac{2x}{3}$:

$$\frac{1}{2} \sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{3}{8}$$

Шаг 4: Найдем $\sin^2 \frac{2x}{3}$

Умножаем обе части уравнения на 2:

$$\sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{3}{4}$$

Шаг 5: Найдем $\sin \frac{2x}{3}$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin \frac{2x}{3} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 6: Определяем значение $\frac{2x}{3}$

Используем арксинус:

$$\frac{2x}{3} = \pm \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значение $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, поэтому получаем:

$$\frac{2x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 7: Находим $x$

Теперь умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$:

$$x = \frac{3}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}$

Итоговое решение:

1. $x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$
2. $x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}$