ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 137 Алимов — Подробные Ответы

1. y=3x-1;
2. y=(2x-1)/3;
3. y=x2-1 при x > = 0;
4. y= (x-1)2 при x > =1;
5. y=x3-2;
6. y=(x-1)3;
7. y= корень (x-1);
8. y= корень x + 1.

1)

$y = 3x — 1$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Обратная функция:

$x = 3y — 1;$

$3y = x + 1;$

$y = \frac{x + 1}{3};$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Графики функций:

2)

$y = \frac{2x — 1}{3}$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Обратная функция:

$x = \frac{2y — 1}{3};$

$3x = 2y — 1;$

$2y = 3x + 1;$

$y = \frac{3x + 1}{2};$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Графики функций:

3)

$y = x^2 — 1$

при

$x \geq 0$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \geq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq -1$ 

  ;

Обратная функция:

$x = y^2 — 1;$

$y^2 = x + 1;$

$y = \sqrt{x + 1};$

• Область определения:
  $x \geq -1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

Графики функций:

4)

$y = (x — 1)^2$

при

$x \geq 1$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \geq 1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

Обратная функция:

$x = (y — 1)^2;$

$\sqrt{x} = y — 1;$

$y = \sqrt{x} + 1;$

• Область определения:
  $x \geq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 1$ 

  ;

Графики функций:

5)

$y = x^3 — 2$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Обратная функция:

$x = y^3 — 2;$

$y^3 = x + 2;$

$y = \sqrt[3]{x + 2};$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Графики функций:

6)

$y = (x — 1)^3$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Обратная функция:

$x = (y — 1)^3;$

$\sqrt[3]{x} = y — 1;$

$y = \sqrt[3]{x} + 1;$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Графики функций:

7)

$y = \sqrt{x — 1}$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \geq 1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

Обратная функция:

$x = \sqrt{y — 1};$

$x^2 = y — 1;$

$y = x^2 + 1;$

• Область определения:
  $x \geq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 1$ 

  ;

Графики функций:

8)

$y = \sqrt{x} + 1$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \geq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 1$ 

  ;

Обратная функция:

$x = \sqrt{y} + 1;$

$\sqrt{y} = x — 1;$

$y = (x — 1)^2;$

• Область определения:
  $x \geq 1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

Графики функций:

1)

$y = 3x — 1$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  (функция определена для всех $x$ 

  );

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  (функция принимает любые значения для любого $x$ 

  );

Для того чтобы найти значения функции, подставим

$x = 0$

и

$x = 1$

:

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = 3(0) — 1 = -1$ 

  ;

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = 3(1) — 1 = 2$ 

  .

Обратная функция:

Для нахождения обратной функции, поменяем местами

$x$

и

$y$

, а затем решим для

$y$

:

$$x = 3y — 1$$

Решим это уравнение для

$y$

:

$$x + 1 = 3y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{x + 1}{3}$$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Для значений

$x = 1$

и

$x = 2$

:

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3}$ 

  ;

• Для
  $x = 2$ 

  : $y = \frac{2 + 1}{3} = 1$ 

  .

Графики функций:

График основной функции будет прямой, наклоненной вверх с угловым коэффициентом 3 и пересекающей ось

$y$

в точке

$y = -1$

.

2)

$y = \frac{2x — 1}{3}$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Для значений

$x = -1$

и

$x = 2$

:

• Для
  $x = -1$ 

  : $y = \frac{2(-1) — 1}{3} = \frac{-2 — 1}{3} = -1$ 

  ;

• Для
  $x = 2$ 

  : $y = \frac{2(2) — 1}{3} = \frac{4 — 1}{3} = 1$ 

  .

Обратная функция:

Меняем местами

$x$

и

$y$

и решаем для

$y$

:

$$x = \frac{2y — 1}{3}$$

Умножим обе стороны на 3:

$$3x = 2y — 1$$

Прибавим 1 к обеим частям:

$$3x + 1 = 2y$$

Разделим на 2:

$$y = \frac{3x + 1}{2}$$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  ;

Для значений

$x = -1$

и

$x = 1$

:

• Для
  $x = -1$ 

  : $y = \frac{3(-1) + 1}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$ 

  ;

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = \frac{3(1) + 1}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$ 

  .

Графики функций:

Основная функция будет прямой с угловым коэффициентом

$\frac{2}{3}$

, пересекающей ось

$y$

в точке

$y = -\frac{1}{3}$

.

3)

$y = x^2 — 1$

при

$x \geq 0$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \geq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq -1$ 

  ;

Для значений

$x = 0$

,

$x = 1$

,

$x = 2$

и

$x = 3$

:

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = 0^2 — 1 = -1$ 

  ;

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = 1^2 — 1 = 0$ 

  ;

• Для
  $x = 2$ 

  : $y = 2^2 — 1 = 3$ 

  ;

• Для
  $x = 3$ 

  : $y = 3^2 — 1 = 8$ 

  .

Обратная функция:

Меняем местами

$x$

и

$y$

и решаем для

$y$

:

$$x = y^2 — 1$$

$$y^2 = x + 1$$

$$y = \sqrt{x + 1}$$

• Область определения:
  $x \geq -1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

Для значений

$x = -1$

,

$x = 0$

,

$x = 3$

,

$x = 8$

:

• Для
  $x = -1$ 

  : $y = \sqrt{-1 + 1} = 0$ 

  ;

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = \sqrt{0 + 1} = 1$ 

  ;

• Для
  $x = 3$ 

  : $y = \sqrt{3 + 1} = 2$ 

  ;

• Для
  $x = 8$ 

  : $y = \sqrt{8 + 1} = 3$ 

  .

Графики функций:

Основная функция

$y = x^2 — 1$

– парабола, начинающаяся от точки

$(-1)$

, открытая вверх. Обратная функция

$y = \sqrt{x + 1}$

– часть параболы, начиная с точки

$(0,1)$

.

4)

$y = (x — 1)^2$

при

$x \geq 1$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \geq 1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

Для значений

$x = 1$

,

$x = 2$

,

$x = 3$

,

$x = 4$

:

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = (1 — 1)^2 = 0$ 

  ;

• Для
  $x = 2$ 

  : $y = (2 — 1)^2 = 1$ 

  ;

• Для
  $x = 3$ 

  : $y = (3 — 1)^2 = 4$ 

  ;

• Для
  $x = 4$ 

  : $y = (4 — 1)^2 = 9$ 

  .

Обратная функция:

Меняем местами

$x$

и

$y$

и решаем для

$y$

:

$$x = (y — 1)^2$$

$$\sqrt{x} = y — 1$$

$$y = \sqrt{x} + 1$$

• Область определения:
  $x \geq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 1$ 

  ;

Для значений

$x = 0$

,

$x = 1$

,

$x = 4$

,

$x = 9$

:

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = \sqrt{0} + 1 = 1$ 

  ;

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = \sqrt{1} + 1 = 2$ 

  ;

• Для
  $x = 4$ 

  : $y = \sqrt{4} + 1 = 3$ 

  ;

• Для
  $x = 9$ 

  : $y = \sqrt{9} + 1 = 4$ 

  .

Графики функций:

Основная функция представляет собой параболу, начинающуюся в точке

$(1,0)$

, а обратная функция — часть функции

$y = \sqrt{x} + 1$

, начинающаяся в точке

$(0,1)$

.

5)

$y = x^3 — 2$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  (функция определена для всех $x$ 

  );

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  (функция принимает любые значения для всех $x$ 

  ).

Для значений

$x = -2$

,

$x = -1$

,

$x = 0$

,

$x = 1$

,

$x = 2$

:

• Для
  $x = -2$ 

  : $y = (-2)^3 — 2 = -8 — 2 = -10$ 

  ;

• Для
  $x = -1$ 

  : $y = (-1)^3 — 2 = -1 — 2 = -3$ 

  ;

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = 0^3 — 2 = -2$ 

  ;

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = 1^3 — 2 = 1 — 2 = -1$ 

  ;

• Для
  $x = 2$ 

  : $y = 2^3 — 2 = 8 — 2 = 6$ 

  .

Обратная функция:

Меняем местами

$x$

и

$y$

и решаем для

$y$

:

$$x = y^3 — 2$$

Добавляем 2 к обеим частям:

$$x + 2 = y^3$$

Извлекаем кубический корень:

$$y = \sqrt[3]{x + 2}$$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  .

Для значений

$x = -10$

,

$x = -3$

,

$x = -2$

,

$x = -1$

,

$x = 6$

:

• Для
  $x = -10$ 

  : $y = \sqrt[3]{-10 + 2} = \sqrt[3]{-8} = -2$ 

  ;

• Для
  $x = -3$ 

  : $y = \sqrt[3]{-3 + 2} = \sqrt[3]{-1} = -1$ 

  ;

• Для
  $x = -2$ 

  : $y = \sqrt[3]{-2 + 2} = \sqrt[3]{0} = 0$ 

  ;

• Для
  $x = -1$ 

  : $y = \sqrt[3]{-1 + 2} = \sqrt[3]{1} = 1$ 

  ;

• Для
  $x = 6$ 

  : $y = \sqrt[3]{6 + 2} = \sqrt[3]{8} = 2$ 

  .

Графики функций:

Основная функция

$y = x^3 — 2$

— это кубическая функция с точкой перегиба в

$(0, -2)$

, а обратная функция

$y = \sqrt[3]{x + 2}$

также кубическая, но ее график будет зеркально отражен относительно оси

$y = x$

.

6)

$y = (x — 1)^3$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  .

Для значений

$x = -1$

,

$x = 0$

,

$x = 1$

,

$x = 2$

,

$x = 3$

:

• Для
  $x = -1$ 

  : $y = (-1 — 1)^3 = (-2)^3 = -8$ 

  ;

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = (0 — 1)^3 = (-1)^3 = -1$ 

  ;

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = (1 — 1)^3 = 0^3 = 0$ 

  ;

• Для
  $x = 2$ 

  : $y = (2 — 1)^3 = 1^3 = 1$ 

  ;

• Для
  $x = 3$ 

  : $y = (3 — 1)^3 = 2^3 = 8$ 

  .

Обратная функция:

Меняем местами

$x$

и

$y$

и решаем для

$y$

:

$$x = (y — 1)^3$$

Извлекаем кубический корень:

$$\sqrt[3]{x} = y — 1$$

Прибавляем 1 к обеим частям:

$$y = \sqrt[3]{x} + 1$$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  .

Для значений

$x = -8$

,

$x = -1$

,

$x = 0$

,

$x = 1$

,

$x = 8$

:

• Для
  $x = -8$ 

  : $y = \sqrt[3]{-8} + 1 = -2 + 1 = -1$ 

  ;

• Для
  $x = -1$ 

  : $y = \sqrt[3]{-1} + 1 = -1 + 1 = 0$ 

  ;

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = \sqrt[3]{0} + 1 = 0 + 1 = 1$ 

  ;

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = \sqrt[3]{1} + 1 = 1 + 1 = 2$ 

  ;

• Для
  $x = 8$ 

  : $y = \sqrt[3]{8} + 1 = 2 + 1 = 3$ 

  .

Графики функций:

Основная функция

$y = (x — 1)^3$

— это кубическая функция с точкой перегиба в

$(1, 0)$

, а обратная функция

$y = \sqrt[3]{x} + 1$

будет также кубической, но сдвиг вверх на 1.

7)

$y = \sqrt{x — 1}$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \geq 1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  .

Для значений

$x = 1$

,

$x = 5$

,

$x = 10$

:

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = \sqrt{1 — 1} = 0$ 

  ;

• Для
  $x = 5$ 

  : $y = \sqrt{5 — 1} = \sqrt{4} = 2$ 

  ;

• Для
  $x = 10$ 

  : $y = \sqrt{10 — 1} = \sqrt{9} = 3$ 

  .

Обратная функция:

Меняем местами

$x$

и

$y$

и решаем для

$y$

:

$$x = \sqrt{y — 1}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$x^2 = y — 1$$

Прибавляем 1:

$$y = x^2 + 1$$

• Область определения:
  $x \geq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 1$ 

  .

Для значений

$x = 0$

,

$x = 2$

,

$x = 3$

:

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = 0^2 + 1 = 1$ 

  ;

• Для
  $x = 2$ 

  : $y = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$ 

  ;

• Для
  $x = 3$ 

  : $y = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$ 

  .

Графики функций:

Основная функция

$y = \sqrt{x — 1}$

представляет собой график корня, начинающийся от точки

$(1, 0)$

, а обратная функция

$y = x^2 + 1$

— парабола, открытая вверх, начинающаяся от точки

$(0, 1)$

.

8)

$y = \sqrt{x} + 1$

Основная функция:

• Область определения:
  $x \geq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 1$ 

  .

Для значений

$x = 0$

,

$x = 4$

,

$x = 9$

:

• Для
  $x = 0$ 

  : $y = \sqrt{0} + 1 = 1$ 

  ;

• Для
  $x = 4$ 

  : $y = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$ 

  ;

• Для
  $x = 9$ 

  : $y = \sqrt{9} + 1 = 3 + 1 = 4$ 

  .

Обратная функция:

Меняем местами

$x$

и

$y$

и решаем для

$y$

:

$$x = \sqrt{y} + 1$$

Вычитаем 1:

$$x — 1 = \sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$(x — 1)^2 = y$$

• Область определения:
  $x \geq 1$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  .

Для значений

$x = 1$

,

$x = 3$

,

$x = 4$

:

• Для
  $x = 1$ 

  : $y = (1 — 1)^2 = 0$ 

  ;

• Для
  $x = 3$ 

  : $y = (3 — 1)^2 = 2^2 = 4$ 

  ;

• Для
  $x = 4$ 

  : $y = (4 — 1)^2 = 3^2 = 9$ 

  .

Графики функций:

Основная функция

$y = \sqrt{x} + 1$

будет графиком корня, сдвинутым вверх на 1, а обратная функция

$y = (x — 1)^2$

будет параболой, начинающейся от

$(1, 0)$

.