ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1368 Алимов — Подробные Ответы

Задача

cosx+cos2x=0;
cosx-cos5x=0;
sin3x+sinx=2sin2x;
sinx + sin2x+sin3x=0.

Краткий ответ:

Задача 1:

$\cos x + \cos 2x = 0;$
$2 \cdot \cos \frac{2x + x}{2} \cdot \cos \frac{2x — x}{2} = 0;$
$\cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0;$

Первое уравнение:
$\cos \frac{3x}{2} = 0;$
$\frac{3x}{2} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x = \frac{2}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};$

Второе уравнение:
$\cos \frac{x}{2} = 0;$
$\frac{x}{2} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x = 2 \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \pi + 2\pi n;$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}; \, \pi + 2\pi n.$

Задача 2:

$\cos x — \cos 5x = 0;$
$-2 \cdot \sin \frac{5x — x}{2} \cdot \sin \frac{5x + x}{2} = 0;$
$\sin 2x \cdot \sin 3x = 0;$

Первое уравнение:
$\sin 2x = 0;$
$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$
$x = \frac{\pi n}{2};$

Второе уравнение:
$\sin 3x = 0;$
$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$
$x = \frac{\pi n}{3};$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; \, \frac{\pi n}{3}.$

Задача 3:

$\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x;$
$2 \cdot \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} = 2 \sin 2x;$
$\sin 2x \cdot \cos x = \sin 2x;$
$\sin 2x \cdot (\cos x — 1) = 0;$

Первое уравнение:
$\sin 2x = 0;$
$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$
$x = \frac{\pi n}{2};$

Второе уравнение:
$\cos x — 1 = 0;$
$\cos x = 1;$
$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}.$

Задача 4:

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0;$
$2 \cdot \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} + \sin 2x = 0;$
$2 \cdot \sin 2x \cdot \cos x + \sin 2x = 0;$
$\sin 2x \cdot (2 \cos x + 1) = 0;$

Первое уравнение:
$\sin 2x = 0;$
$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$
$x = \frac{\pi n}{2};$

Второе уравнение:
$2 \cos x + 1 = 0;$
$2 \cos x = -1;$
$\cos x = -\frac{1}{2};$
$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; \, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

Подробный ответ:

Задача 1:

Исходное уравнение:

$\cos x + \cos 2x = 0$

Для решения применим формулу суммы косинусов:

$\cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \frac{a + b}{2} \cdot \cos \frac{a — b}{2}$

В нашем случае $a = x$ и $b = 2x$ , подставляем в формулу:

$\cos x + \cos 2x = 2 \cdot \cos \frac{2x + x}{2} \cdot \cos \frac{2x — x}{2}$

Упростим выражения:

$\cos x + \cos 2x = 2 \cdot \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$

Теперь, уравнение принимает вид:

$2 \cdot \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0$

Для того, чтобы произведение двух чисел было равно нулю, хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Поэтому решаем два уравнения:

$\cos \frac{3x}{2} = 0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2} = 0$

1.1. Решение первого уравнения:

$\cos \frac{3x}{2} = 0$

Косинус равен нулю при значениях аргумента $\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$ , где $n$ — целое число.

$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части на 2:

$3x = \pi + 2\pi n$

Разделим на 3:

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$

Это решение первого уравнения.

1.2. Решение второго уравнения:

$\cos \frac{x}{2} = 0$

Косинус равен нулю при значениях аргумента $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$ , где $n$ — целое число.

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = \pi + 2\pi n$

Это решение второго уравнения.

Ответ для задачи 1:

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \, x = \pi + 2\pi n$

Задача 2:

Исходное уравнение:

$\cos x — \cos 5x = 0$

Для решения используем формулу разности косинусов:

$\cos a — \cos b = -2 \cdot \sin \frac{a + b}{2} \cdot \sin \frac{a — b}{2}$

Подставляем $a = x$ и $b = 5x$ :

$\cos x — \cos 5x = -2 \cdot \sin \frac{5x + x}{2} \cdot \sin \frac{5x — x}{2}$

Упростим выражения:

$\cos x — \cos 5x = -2 \cdot \sin 3x \cdot \sin 2x$

Теперь уравнение выглядит так:

$-2 \cdot \sin 3x \cdot \sin 2x = 0$

Преобразуем уравнение:

$\sin 3x \cdot \sin 2x = 0$

Для того, чтобы произведение двух чисел было равно нулю, хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Поэтому решаем два уравнения:

$\sin 3x = 0 \quad \text{или} \quad \sin 2x = 0$

2.1. Решение первого уравнения:

$\sin 3x = 0$

Синус равен нулю при значениях аргумента $3x = \pi n$ , где $n$ — целое число.

$3x = \pi n$

Разделим на 3:

$x = \frac{\pi n}{3}$

Это решение первого уравнения.

2.2. Решение второго уравнения:

$\sin 2x = 0$

Синус равен нулю при значениях аргумента $2x = \pi n$ , где $n$ — целое число.

$2x = \pi n$

Разделим на 2:

$x = \frac{\pi n}{2}$

Это решение второго уравнения.

Ответ для задачи 2:

$x = \frac{\pi n}{2}, \, x = \frac{\pi n}{3}$

Задача 3:

Исходное уравнение:

$\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x$

Используем формулу для суммы синусов:

$\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cdot \cos \frac{a — b}{2}$

Подставляем $a = 3x$ и $b = x$ :

$\sin 3x + \sin x = 2 \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}$

Упростим выражения:

$\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cdot \cos x$

Теперь уравнение:

$2 \sin 2x \cdot \cos x = 2 \sin 2x$

Упростим обе части на 2:

$\sin 2x \cdot \cos x = \sin 2x$

Вынесем $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x \cdot (\cos x — 1) = 0$

Для того, чтобы произведение двух чисел было равно нулю, хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Поэтому решаем два уравнения:

$\sin 2x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x — 1 = 0$

3.1. Решение первого уравнения:

$\sin 2x = 0$

Синус равен нулю при значениях аргумента $2x = \pi n$ , где $n$ — целое число.

$2x = \pi n$

Разделим на 2:

$x = \frac{\pi n}{2}$

Это решение первого уравнения.

3.2. Решение второго уравнения:

$\cos x — 1 = 0$

Косинус равен 1 при значении $x = 2\pi n$ , где $n$ — целое число.

$\cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi n$

Это решение второго уравнения.

Ответ для задачи 3:

$x = \frac{\pi n}{2}$

Задача 4:

Исходное уравнение:

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Используем формулы для суммы синусов:

$\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cdot \cos \frac{a — b}{2}$

Подставляем $a = 3x$ и $b = x$ :

$\sin x + \sin 3x = 2 \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}$

Упростим выражения:

$\sin x + \sin 3x = 2 \sin 2x \cdot \cos x$

Теперь уравнение:

$2 \sin 2x \cdot \cos x + \sin 2x = 0$

Вынесем $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x \cdot (2 \cos x + 1) = 0$

Для того, чтобы произведение двух чисел было равно нулю, хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Поэтому решаем два уравнения:

$\sin 2x = 0 \quad \text{или} \quad 2 \cos x + 1 = 0$

4.1. Решение первого уравнения:

$\sin 2x = 0$

Синус равен нулю при значениях аргумента $2x = \pi n$ , где $n$ — целое число.

$2x = \pi n$

Разделим на 2:

$x = \frac{\pi n}{2}$

Это решение первого уравнения.

4.2. Решение второго уравнения:

$2 \cos x + 1 = 0$

Решаем для $\cos x$ :

$2 \cos x = -1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = -\frac{1}{2}$

Косинус равен $-\frac{1}{2}$ при значениях $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$ . Мы знаем, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$ , поэтому:

$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Это решение второго уравнения.

Ответ для задачи 4:

$x = \frac{\pi n}{2}, \, x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Оцени решение