ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1363 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (1363—1385).

1. sin2x=1/2;
2. cos3x=-корень 2/2;
3. 2tgx+5=0.

$\sin 2x = \frac{1}{2}$;

$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

$\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$3x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;

$x = \frac{1}{3} \cdot \left(\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right) = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$;

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$.

$2 \operatorname{tg} x + 5 = 0$;

$2 \operatorname{tg} x = -5$;

$\operatorname{tg} x = -2.5$;

$x = \operatorname{arctg}(-2.5) + \pi n$;

Ответ: $-\operatorname{arctg} 2.5 + \pi n$.

Задача 1: $\sin 2x = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Найдем общее решение для уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$

У нас есть тригонометрическое уравнение:

$$\sin 2x = \frac{1}{2}.$$

Знаем, что значение синуса равно $\frac{1}{2}$ в определенные моменты времени. Рассмотрим стандартное решение для $\sin \theta = \frac{1}{2}$:

$$\theta = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Но поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, для любого значения $\theta$ могут быть такие решения:

$$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta = \pi — \frac{\pi}{6} + 2k\pi.$$

Это связано с тем, что синус одинаков по знаку в первой и второй четверти.

Таким образом, для $\sin 2x = \frac{1}{2}$ общее решение будет:

$$2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Здесь мы учитываем знак $(-1)^n$, потому что значение синуса $\frac{1}{2}$ может быть в первой или второй четверти.

Шаг 2: Найдем $x$

Делим обе стороны на 2, чтобы выразить $x$:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right).$$

Раскрываем скобки:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

Задача 2: $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Найдем общее решение для уравнения $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

У нас есть тригонометрическое уравнение:

$$\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Знаем, что $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ для определенных углов. Если мы вспомним, то для угла $\theta = \frac{3\pi}{4}$ и $\theta = \frac{5\pi}{4}$, косинус будет равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, то есть:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом, для $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ общее решение будет:

$$3x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Мы выбрали знак $\pm$, потому что косинус имеет одинаковое значение в первом и четвертом квадрантах.

Шаг 2: Найдем $x$

Делим обе стороны на 3, чтобы выразить $x$:

$$x = \frac{1}{3} \cdot \left(\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right).$$

Раскрываем скобки:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Задача 3: $2 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

Шаг 1: Решим уравнение $2 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

У нас есть линейное уравнение относительно тангенса:

$$2 \operatorname{tg} x + 5 = 0.$$

В первую очередь, из этого уравнения выразим $\operatorname{tg} x$:

$$2 \operatorname{tg} x = -5 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x = -\frac{5}{2}.$$

Шаг 2: Найдем $x$

Чтобы найти $x$, нужно применить обратную функцию к тангенсу, то есть арктангенс:

$$x = \operatorname{arctg} \left(-\frac{5}{2}\right) + \pi n.$$

Так как тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$, добавляется $+ \pi n$.

Ответ:

$$x = -\operatorname{arctg} 2.5 + \pi n.$$