ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1361 Алимов — Подробные Ответы

Решить графически уравнение:

1. 0,5х = 2х + 1;
2. 2х = 3 — х2;
3. log3 х = 4 — х;
4. log1/2(х) = 4х2;
5. 2х = log0,5(х);
6. (1/3)x = log3(х).

1) $0.5^x = 2x + 1$

Уравнение экспоненты:

$$y = 0.5^x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Уравнение прямой:

$$y = 2x + 1$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 \\ \hline y & -3 & -1 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ:

$$x = 0$$

2) $2^x = 3 — x^2$

Уравнение экспоненты:

$$y = 2^x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Уравнение параболы:

$$y = 3 — x^2$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -1 & 2 & 3 & 2 & -1 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ:

$$x_1 \approx -1.7, \quad x_2 = 1$$

3) $\log_3 x = 4 — x$

Уравнение экспоненты:

$$y = \log_3 x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Уравнение прямой:

$$y = 4 — x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 4 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ:

$$x = 3$$

4) $\log_{\frac{1}{2}} x = 4x^2$

Уравнение экспоненты:

$$y = \log_{\frac{1}{2}} x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$$

Уравнение параболы:

$$y = 4x^2$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 4 & 0 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ:

$$x = \frac{1}{2}$$

5) $2^x = \log_{0.5} x$

Уравнение экспоненты:

$$y = 2^x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Уравнение экспоненты:

$$y = \log_{0.5} x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ:

$$x \approx 0.4$$

6) $\left( \frac{1}{3} \right)^x = \log_3 x$

Уравнение экспоненты:

$$y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 9 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Уравнение экспоненты:

$$y = \log_3 x$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ:

$$x \approx 1.3$$

1) Уравнение: $0.5^x = 2x + 1$

Шаг 1: Проанализируем уравнение

У нас есть два выражения:

1. $0.5^x$ — это экспоненциальная функция с основанием $0.5$.
2. $2x + 1$ — это линейная функция.

Наша цель — найти значение $x$, при котором эти две функции равны.

Шаг 2: Проверим несколько значений $x$

Для этого мы подставим различные значения $x$ в оба выражения и посмотрим, при каком значении они равны.

• Для $x = 0$:

  $$0.5^0 = 1 \quad \text{и} \quad 2(0) + 1 = 1$$

  Видим, что $0.5^0 = 1$ и $2(0) + 1 = 1$, т.е. $x = 0$ — это решение уравнения.

Шаг 3: Ответ

Единственное решение уравнения:

$$x = 0$$

2) Уравнение: $2^x = 3 — x^2$

Шаг 1: Проанализируем уравнение

1. $2^x$ — это экспоненциальная функция с основанием $2$.
2. $3 — x^2$ — это парабола, открывающаяся вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный).

Мы ищем значения $x$, при которых эти функции равны.

Шаг 2: Проверим несколько значений $x$

• Для $x = 0$:

  $$2^0 = 1 \quad \text{и} \quad 3 — 0^2 = 3$$

  Уравнение не выполняется для $x = 0$.

• Для $x = 1$:

  $$2^1 = 2 \quad \text{и} \quad 3 — 1^2 = 2$$

  Уравнение выполняется для $x = 1$.

• Для $x = -1$:

  $$2^{-1} = 0.5 \quad \text{и} \quad 3 — (-1)^2 = 2$$

  Уравнение не выполняется для $x = -1$.

• Для $x = 2$:

  $$2^2 = 4 \quad \text{и} \quad 3 — 2^2 = -1$$

  Уравнение не выполняется для $x = 2$.

• Для $x = -2$:

  $$2^{-2} = 0.25 \quad \text{и} \quad 3 — (-2)^2 = -1$$

  Уравнение не выполняется для $x = -2$.

Для более точных решений можно использовать численные методы, но на основе этих проверок очевидно, что $x = 1$ является одним решением.

Шаг 3: Ответ

Решения:

$$x_1 \approx -1.7, \quad x_2 = 1$$

3) Уравнение: $\log_3 x = 4 — x$

Шаг 1: Проанализируем уравнение

1. $\log_3 x$ — это логарифм с основанием $3$.
2. $4 — x$ — это линейная функция.

Мы ищем значение $x$, при котором эти функции равны.

Шаг 2: Проверим несколько значений $x$

• Для $x = 1$:

  $$\log_3 1 = 0 \quad \text{и} \quad 4 — 1 = 3$$

  Уравнение не выполняется для $x = 1$.

• Для $x = 3$:

  $$\log_3 3 = 1 \quad \text{и} \quad 4 — 3 = 1$$

  Уравнение выполняется для $x = 3$.

Шаг 3: Ответ

Решение:

$$x = 3$$

4) Уравнение: $\log_{\frac{1}{2}} x = 4x^2$

Шаг 1: Проанализируем уравнение

1. $\log_{\frac{1}{2}} x$ — это логарифм с основанием $\frac{1}{2}$, который является убывающей функцией.
2. $4x^2$ — это парабола, открывающаяся вверх.

Мы ищем значение $x$, при котором эти функции равны.

Шаг 2: Проверим несколько значений $x$

• Для $x = 1$:

  $$\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0 \quad \text{и} \quad 4(1)^2 = 4$$

  Уравнение не выполняется для $x = 1$.

• Для $x = 0.5$:

  $$\log_{\frac{1}{2}} 0.5 = 1 \quad \text{и} \quad 4(0.5)^2 = 1$$

  Уравнение выполняется для $x = \frac{1}{2}$.

Шаг 3: Ответ

Решение:

$$x = \frac{1}{2}$$

5) Уравнение: $2^x = \log_{0.5} x$

Шаг 1: Проанализируем уравнение

1. $2^x$ — это экспоненциальная функция с основанием $2$.
2. $\log_{0.5} x$ — это логарифм с основанием $0.5$, который является убывающей функцией.

Мы ищем значение $x$, при котором эти функции равны.

Шаг 2: Проверим несколько значений $x$

• Для $x = 1$:

  $$2^1 = 2 \quad \text{и} \quad \log_{0.5} 1 = 0$$

  Уравнение не выполняется для $x = 1$.

• Для $x = 2$:

  $$2^2 = 4 \quad \text{и} \quad \log_{0.5} 2 = -1$$

  Уравнение не выполняется для $x = 2$.

• Для $x = 4$:

  $$2^4 = 16 \quad \text{и} \quad \log_{0.5} 4 = -2$$

  Уравнение не выполняется для $x = 4$.

Для более точного нахождения решения можно воспользоваться численным методом, например, методом Ньютона.

Шаг 3: Ответ

При численном решении получаем:

$$x \approx 0.4$$

6) Уравнение: $\left( \frac{1}{3} \right)^x = \log_3 x$

Шаг 1: Проанализируем уравнение

1. $\left( \frac{1}{3} \right)^x$ — это экспоненциальная функция с основанием $\frac{1}{3}$, которая является убывающей функцией.
2. $\log_3 x$ — это логарифм с основанием $3$, который является возрастающей функцией.

Мы ищем значение $x$, при котором эти функции равны.

Шаг 2: Проверим несколько значений $x$

• Для $x = 1$:

  $$\left( \frac{1}{3} \right)^1 = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \log_3 1 = 0$$

  Уравнение не выполняется для $x = 1$.

• Для $x = 3$:

  $$\left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27} \quad \text{и} \quad \log_3 3 = 1$$

  Уравнение не выполняется для $x = 3$.

При численном решении получаем:

$$x \approx 1.3$$

Шаг 3: Ответ

Решение:

$$x \approx 1.3$$

$$\boxed{x \approx 1.3}$$