ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1360 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (z — комплексное число):

1. z2 + 4z + 19 = 0;
2. z2 — 2z + 3 = 0.

$z^2 + 4z + 19 = 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 19 = 16 — 76 = -60 = -15 \cdot 4$, тогда:

$$z = \frac{-4 \pm \sqrt{-60}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{-15}}{2} = -2 \pm \sqrt{-15} = -2 \pm i\sqrt{15};$$

Ответ: $z = -2 \pm i\sqrt{15}$.

$z^2 — 2z + 3 = 0$;

$D = 2^2 — 4 \cdot 3 = 4 — 12 = -8 = -2 \cdot 4$, тогда:

$$z = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{-2}}{2} = 1 \pm \sqrt{-2} = 1 \pm i\sqrt{2};$$

Ответ: $z = 1 \pm i\sqrt{2}$.

Задание 1: $z^2 + 4z + 19 = 0$

Шаг 1: Определяем коэффициенты

Для квадратного уравнения $az^2 + bz + c = 0$ коэффициенты следующие:

• $a = 1$ (коэффициент при $z^2$),
• $b = 4$ (коэффициент при $z$),
• $c = 19$ (свободный член).

Шаг 2: Находим дискриминант

Дискриминант $D$ для квадратного уравнения вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Подставляем значения коэффициентов $a = 1$, $b = 4$ и $c = 19$:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 19 = 16 — 76 = -60.$$

Дискриминант оказался отрицательным, что означает, что у уравнения будут мнимые корни.

Шаг 3: Применяем формулу для корней

Для квадратного уравнения с мнимыми корнями корни находятся по формуле:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = 4$, $D = -60$, $a = 1$:

$$z = \frac{-4 \pm \sqrt{-60}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-60}}{2}.$$

Шаг 4: Извлекаем мнимую часть из дискриминанта

Поскольку дискриминант $D = -60$, мы можем извлечь мнимую единицу $i$ из под корня:

$$\sqrt{-60} = \sqrt{60} \cdot i = 2\sqrt{15} \cdot i.$$

Тогда корни уравнения примут вид:

$$z = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{15}}{2}.$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

Теперь упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 2:

$$z = -2 \pm i\sqrt{15}.$$

Ответ:

Корни уравнения $z^2 + 4z + 19 = 0$ равны:

$$z = -2 \pm i\sqrt{15}.$$

Задание 2: $z^2 — 2z + 3 = 0$

Шаг 1: Определяем коэффициенты

Для квадратного уравнения $az^2 + bz + c = 0$ коэффициенты следующие:

• $a = 1$ (коэффициент при $z^2$),
• $b = -2$ (коэффициент при $z$),
• $c = 3$ (свободный член).

Шаг 2: Находим дискриминант

Дискриминант $D$ для квадратного уравнения вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Подставляем значения коэффициентов $a = 1$, $b = -2$, и $c = 3$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8.$$

Дискриминант снова отрицателен, что также указывает на мнимые корни.

Шаг 3: Применяем формулу для корней

Для квадратного уравнения с мнимыми корнями корни находятся по формуле:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -2$, $D = -8$, и $a = 1$:

$$z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2}.$$

Шаг 4: Извлекаем мнимую часть из дискриминанта

Поскольку дискриминант $D = -8$, извлекаем мнимую единицу $i$:

$$\sqrt{-8} = \sqrt{8} \cdot i = 2\sqrt{2} \cdot i.$$

Тогда корни уравнения примут вид:

$$z = \frac{2 \pm 2i\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

Теперь упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 2:

$$z = 1 \pm i\sqrt{2}.$$

Ответ:

Корни уравнения $z^2 — 2z + 3 = 0$ равны:

$$z = 1 \pm i\sqrt{2}.$$