ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1359 Алимов — Подробные Ответы

Могут ли корни уравнения (х — m) (х — n) = k2 быть чисто мнимыми, если m, n и k — действительные числа?

Могут ли корни уравнения $(x — m)(x — n) = k^2$ быть чисто мнимыми, если $m$, $n$ и $k$ — действительные числа;

Преобразуем уравнение:

$$(x — m)(x — n) = k^2;$$ $$x^2 — xn — xm + mn — k^2 = 0;$$ $$x^2 — (n + m)x + (mn — k^2) = 0;$$

Уравнение имеет только мнимые корни, если $D < 0$:

$$D = (n + m)^2 — 4(mn — k^2) < 0;$$ $$n^2 + 2mn + m^2 — 4mn + 4k^2 < 0;$$ $$m^2 + n^2 — 2mn + 4k^2 < 0;$$ $$(m — n)^2 + 4k^2 < 0 — \text{корней нет};$$

Ответ: не могут.

Уравнение: $(x — m)(x — n) = k^2$

Задано уравнение:

$$(x — m)(x — n) = k^2,$$

где $m$, $n$ и $k$ — действительные числа. Нужно выяснить, могут ли корни этого уравнения быть чисто мнимыми.

Шаг 1: Раскрываем скобки

Для начала раскроем скобки в исходном уравнении:

$$(x — m)(x — n) = k^2.$$

Применяя формулу для произведения двучленов $(a — b)(a — c) = a^2 — (b + c)a + bc$, получаем:

$$x^2 — (n + m)x + mn = k^2.$$

Теперь приводим все элементы в одну сторону:

$$x^2 — (n + m)x + (mn — k^2) = 0.$$

Итак, получаем стандартное квадратное уравнение:

$$x^2 — (n + m)x + (mn — k^2) = 0.$$

Шаг 2: Квадратное уравнение и дискриминант

Теперь рассмотрим условия для того, чтобы у уравнения были чисто мнимые корни. Для этого необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был отрицательным. Квадратное уравнение имеет вид:

$$ax^2 + bx + c = 0,$$

где $a = 1$, $b = -(n + m)$, и $c = mn — k^2$.

Дискриминант $D$ для такого уравнения рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу для дискриминанта:

$$D = (-(n + m))^2 — 4 \cdot 1 \cdot (mn — k^2).$$

Упростим:

$$D = (n + m)^2 — 4(mn — k^2).$$

Шаг 3: Условие для мнимых корней

Уравнение будет иметь чисто мнимые корни, если дискриминант $D$ меньше нуля, то есть:

$$D < 0.$$

Подставим выражение для дискриминанта:

$$(n + m)^2 — 4(mn — k^2) < 0.$$

Раскроем скобки:

$$(n + m)^2 — 4mn + 4k^2 < 0.$$

Теперь раскроем квадрат:

$$n^2 + 2mn + m^2 — 4mn + 4k^2 < 0.$$

Собираем похожие слагаемые:

$$n^2 + 2mn — 4mn + m^2 + 4k^2 < 0,$$ $$n^2 — 2mn + m^2 + 4k^2 < 0.$$

Это можно переписать как:

$$(n — m)^2 + 4k^2 < 0.$$

Шаг 4: Анализ полученного неравенства

Теперь рассмотрим полученное неравенство:

$$(n — m)^2 + 4k^2 < 0.$$

• $(n — m)^2$ — это квадрат разности двух действительных чисел, и всегда больше или равно нулю.
• $4k^2$ — это удвоенный квадрат числа $k$, и также всегда больше или равно нулю.

Следовательно, левая часть этого неравенства является суммой двух чисел, каждое из которых больше или равно нулю. Поэтому сумма всегда неотрицательна:

$$(n — m)^2 + 4k^2 \geq 0.$$

Невозможно, чтобы эта сумма была меньше нуля, так как ни одно из слагаемых не может быть отрицательным.

Шаг 5: Вывод

Так как левую часть неравенства невозможно сделать отрицательной, то оно не может быть выполнено. Следовательно, у уравнения $(x — m)(x — n) = k^2$ не могут быть чисто мнимые корни.

Ответ: не могут.