ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1358 Алимов — Подробные Ответы

1. x(1+lgx) =10x;
2. xlgx=100x;
3. log2(17-2x)+log2(2x+15) =8;
4. log2(3+2x)+log2(5-2x)=4.

1) $x^{1+\lg x} = 10x$;

$$\log_x x^{1+\lg x} = \log_x (10x);$$ $$1 + \lg x = \log_x 10 + \log_x x;$$ $$1 + \lg x = \frac{\lg 10}{\lg x} + 1;$$ $$\lg x = \frac{1}{\lg x} \quad |\cdot \lg x;$$ $$\lg^2 x = 1;$$ $$\lg x = \pm 1;$$

Первое значение:

$$\lg x = -1;$$ $$\lg x = \lg 10^{-1}, \text{ отсюда } x = 0.1;$$

Второе значение:

$$\lg x = 1;$$ $$\lg x = \lg 10, \text{ отсюда } x = 10;$$

Ответ: $x_1 = 0.1; \, x_2 = 10$.

2) $x^{\lg x} = 100x$;

$$\log_x x^{\lg x} = \log_x (100x);$$ $$\lg x = \log_x 100 + \log_x x;$$ $$\lg x = \frac{\lg 100}{\lg x} + 1;$$ $$\lg x = \frac{2}{\lg x} + 1 \quad |\cdot \lg x;$$ $$\lg^2 x = 2 + \lg x;$$

Пусть $y = \lg x$, тогда:

$$y^2 = 2 + y;$$ $$y^2 — y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Первое значение:

$$\lg x = -1;$$ $$\lg x = \lg 10^{-1}, \text{ отсюда } x = 0.1;$$

Второе значение:

$$\lg x = 2;$$ $$\lg x = \lg 10^2, \text{ отсюда } x = 100;$$

Ответ: $x_1 = 0.1; \, x_2 = 100$.

3) $\log_2 (17 — 2^x) + \log_2 (2^x + 15) = 8$;

$$\log_2 \big((17 — 2^x)(2^x + 15)\big) = \log_2 2^8;$$ $$17 \cdot 2^x + 255 — 2^x \cdot 15 — 15 \cdot 2^x = 256;$$ $$2^x \cdot 2^x — 2 \cdot 2^x + 1 = 0;$$ $$(2^x — 1)^2 = 0;$$ $$2^x — 1 = 0;$$ $$2^x = 1, \text{ отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x = 0$.

4) $\log_2 (3 + 2^x) + \log_2 (5 — 2^x) = 4$;

$$\log_2 \big((3 + 2^x)(5 — 2^x)\big) = \log_2 2^4;$$ $$15 — 3 \cdot 2^x + 5 \cdot 2^x — 2^x \cdot 2^x = 16;$$ $$2^x \cdot 2^x — 2 \cdot 2^x + 1 = 0;$$ $$(2^x — 1)^2 = 0;$$ $$2^x — 1 = 0;$$ $$2^x = 1, \text{ отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x = 0$.

Задание 1: $x^{1 + \lg x} = 10x$

Шаг 1: Применяем логарифм по основанию $x$

Для упрощения уравнения применим логарифм по основанию $x$ к обеим частям исходного уравнения:

$$\log_x x^{1 + \lg x} = \log_x (10x)$$

Шаг 2: Применяем свойства логарифмов

Используя свойство логарифма $\log_b a^n = n \log_b a$, получаем:

$$1 + \lg x = \log_x 10 + \log_x x$$

Здесь мы использовали тот факт, что $\log_x x = 1$.

Шаг 3: Подставляем значение $\log_x x = 1$

Теперь у нас:

$$1 + \lg x = \log_x 10 + 1$$

Шаг 4: Изолируем логарифм по основанию $x$

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$\lg x = \log_x 10$$

Шаг 5: Переход к логарифмам с основанием 10

Теперь можно перейти к логарифмам с основанием 10. Напоминаем, что $\log_x 10 = \frac{\lg 10}{\lg x}$. Таким образом, уравнение примет вид:

$$\lg x = \frac{\lg 10}{\lg x}$$

Шаг 6: Умножаем обе части на $\lg x$

Умножаем обе части уравнения на $\lg x$ (предполагаем, что $\lg x \neq 0$):

$$\lg^2 x = \lg 10$$

Поскольку $\lg 10 = 1$, у нас получается:

$$\lg^2 x = 1$$

Шаг 7: Извлекаем корень

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$\lg x = \pm 1$$

Шаг 8: Решаем для $x$

Теперь решаем для $x$ в каждом случае.

• Если $\lg x = 1$, то $x = 10$.
• Если $\lg x = -1$, то $x = 0.1$.

Таким образом, решения:

$$x_1 = 0.1, \quad x_2 = 10$$

Задание 2: $x^{\lg x} = 100x$

Шаг 1: Применяем логарифм по основанию $x$

Применяем логарифм по основанию $x$ к обеим частям уравнения:

$$\log_x x^{\lg x} = \log_x (100x)$$

Шаг 2: Применяем свойства логарифмов

Используя свойство логарифма $\log_b a^n = n \log_b a$, получаем:

$$\lg x = \log_x 100 + \log_x x$$

Поскольку $\log_x x = 1$, получаем:

$$\lg x = \log_x 100 + 1$$

Шаг 3: Подставляем значение $\log_x 100$

Теперь заменим $\log_x 100$ на $\frac{\lg 100}{\lg x}$. Поскольку $\lg 100 = 2$, получаем:

$$\lg x = \frac{2}{\lg x} + 1$$

Шаг 4: Умножаем обе части на $\lg x$

Умножаем обе части уравнения на $\lg x$, чтобы избавиться от дроби:

$$\lg^2 x = 2 + \lg x$$

Шаг 5: Преобразуем уравнение

Теперь приводим уравнение к стандартному виду:

$$\lg^2 x — \lg x — 2 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\lg x$.

Шаг 6: Находим дискриминант

Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение

Теперь находим корни уравнения:

$$\lg x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}$$

Таким образом, получаем два значения:

• $\lg x = \frac{1 — 3}{2} = -1$
• $\lg x = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Шаг 8: Решаем для $x$

Теперь решаем для $x$ в каждом случае:

• Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0.1$.
• Если $\lg x = 2$, то $x = 10^2 = 100$.

Ответ:

$$x_1 = 0.1, \quad x_2 = 100$$

Задание 3: $\log_2 (17 — 2^x) + \log_2 (2^x + 15) = 8$

Шаг 1: Применяем правило сложения логарифмов

Используем правило $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$ для объединения логарифмов:

$$\log_2 \big((17 — 2^x)(2^x + 15)\big) = \log_2 2^8$$

Шаг 2: Убираем логарифмы

Так как $\log_2 2^8 = 8$, приравниваем выражения под логарифмами:

$$(17 — 2^x)(2^x + 15) = 2^8 = 256$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

Теперь раскрываем скобки:

$$17 \cdot 2^x + 255 — 2^x \cdot 15 — 15 \cdot 2^x = 256$$

Преобразуем:

$$17 \cdot 2^x + 255 — 15 \cdot 2^x — 15 \cdot 2^x = 256$$ $$2^x \cdot 2^x — 2 \cdot 2^x + 1 = 0$$

Шаг 4: Переводим в квадрат

Теперь получаем следующее уравнение:

$$(2^x — 1)^2 = 0$$

Шаг 5: Решаем уравнение

Из этого уравнения следует, что:

$$2^x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2^x = 1$$

Таким образом, $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

Задание 4: $\log_2 (3 + 2^x) + \log_2 (5 — 2^x) = 4$

Шаг 1: Применяем правило сложения логарифмов

Используем правило сложения логарифмов:

$$\log_2 \big((3 + 2^x)(5 — 2^x)\big) = \log_2 2^4$$

Шаг 2: Убираем логарифмы

Так как $\log_2 2^4 = 4$, приравниваем выражения под логарифмами:

$$(3 + 2^x)(5 — 2^x) = 2^4 = 16$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

Теперь раскрываем скобки:

$$15 — 3 \cdot 2^x + 5 \cdot 2^x — 2^x \cdot 2^x = 16$$

Преобразуем:

$$2^x \cdot 2^x — 2 \cdot 2^x + 1 = 0$$

Шаг 4: Переводим в квадрат

Получаем уравнение:

$$(2^x — 1)^2 = 0$$

Шаг 5: Решаем уравнение

Из этого уравнения следует:

$$2^x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2^x = 1$$

Таким образом, $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.