ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1353 Алимов — Подробные Ответы

1. log2(2x-18) + log2(x-9) =5;
2. lg(x2+19) — lg(x+1)=1.

1)

$$\log_2(2x-18) + \log_2(x-9) = 5;$$ $$\log_2((2x-18)(x-9)) = \log_2(2^5);$$ $$\log_2(2x^2 — 18x — 18x + 162) = \log_2(32);$$ $$2x^2 — 36x + 162 = 32;$$ $$2x^2 — 36x + 130 = 0;$$ $$x^2 — 18x + 65 = 0;$$ $$D = 18^2 — 4 \cdot 65 = 324 — 260 = 64, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{18 — 8}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{18 + 8}{2} = 13;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x — 18 > 0, \text{отсюда } x > 9;$$ $$x — 9 > 0, \text{отсюда } x > 9;$$

Ответ: $x = 13$.

2)

$$\lg(x^2 + 19) — \lg(x + 1) = 1;$$ $$\lg \frac{x^2 + 19}{x + 1} = \lg 10;$$ $$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10 \quad | \cdot (x + 1);$$ $$x^2 + 19 = 10(x + 1);$$ $$x^2 + 19 = 10x + 10;$$ $$x^2 — 10x + 9 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 + 19 > 0 \quad \text{при любом } x;$$ $$x + 1 > 0, \text{отсюда } x > -1;$$

Ответ: $x_1 = 1; \, x_2 = 9$.

Пример 1:

$$\log_2(2x — 18) + \log_2(x — 9) = 5$$

Шаг 1: Применим свойство логарифмов, которое гласит:

$$\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c).$$

Таким образом, преобразуем левую часть уравнения:

$$\log_2((2x — 18)(x — 9)) = 5.$$

Шаг 2: Переходим от логарифма к показательной форме. Согласно свойству:

$$\log_a(b) = c \quad \text{равно} \quad b = a^c.$$

Применим это к уравнению:

$$(2x — 18)(x — 9) = 2^5.$$

Здесь $2^5 = 32$, поэтому уравнение принимает вид:

$$(2x — 18)(x — 9) = 32.$$

Шаг 3: Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$(2x — 18)(x — 9) = 2x(x — 9) — 18(x — 9).$$

Выполним умножение:

$$2x(x — 9) = 2x^2 — 18x,$$ $$-18(x — 9) = -18x + 162.$$

Теперь подставим все это в уравнение:

$$2x^2 — 18x — 18x + 162 = 32.$$

Упростим:

$$2x^2 — 36x + 162 = 32.$$

Шаг 4: Переносим все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$2x^2 — 36x + 162 — 32 = 0,$$ $$2x^2 — 36x + 130 = 0.$$

Шаг 5: Разделим все на 2, чтобы упростить уравнение:

$$x^2 — 18x + 65 = 0.$$

Шаг 6: Найдем дискриминант этого квадратного уравнения. Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для уравнения $x^2 — 18x + 65 = 0$ имеем $a = 1$, $b = -18$, $c = 65$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 65 = 324 — 260 = 64.$$

Шаг 7: Найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения $b = -18$, $D = 64$ и $a = 1$:

$$x_1 = \frac{-(-18) — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 — 8}{2} = \frac{10}{2} = 5,$$ $$x_2 = \frac{-(-18) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 8}{2} = \frac{26}{2} = 13.$$

Шаг 8: Проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Логарифм существует только для положительных аргументов. Следовательно, нужно, чтобы:

$$2x — 18 > 0 \quad \text{и} \quad x — 9 > 0.$$

Решим каждое из этих неравенств:

$$2x — 18 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 9,$$ $$x — 9 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 9.$$

Таким образом, $x$ должно быть больше 9.

Шаг 9: Из найденных корней $x_1 = 5$ и $x_2 = 13$ только $x_2 = 13$ удовлетворяет этому условию. Поэтому ответ:

$$x = 13.$$

Пример 2:

$$\lg(x^2 + 19) — \lg(x + 1) = 1$$

Шаг 1: Применим свойство логарифмов:

$$\lg a — \lg b = \lg \left(\frac{a}{b}\right).$$

Преобразуем выражение:

$$\lg \left(\frac{x^2 + 19}{x + 1}\right) = 1.$$

Шаг 2: Перейдем от логарифма к показательной форме:

$$\lg a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 10^1 = 10.$$

Получаем:

$$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10.$$

Шаг 3: Умножим обе части на $x + 1$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x^2 + 19 = 10(x + 1).$$

Распишем правую часть:

$$x^2 + 19 = 10x + 10.$$

Шаг 4: Переносим все в одну сторону:

$$x^2 + 19 — 10x — 10 = 0,$$ $$x^2 — 10x + 9 = 0.$$

Шаг 5: Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64.$$

Шаг 6: Найдем корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 — 8}{2} = \frac{2}{2} = 1,$$ $$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9.$$

Шаг 7: Проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Логарифм существует только для положительных аргументов. Необходимо, чтобы:

$$x^2 + 19 > 0 \quad \text{при любом } x,$$ $$x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1.$$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x > -1$, что выполняется для всех найденных корней.

Шаг 8: Ответ:

$$x_1 = 1; \quad x_2 = 9.$$$x_1 = 1, x_2 = 9$