ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1352 Алимов — Подробные Ответы

1. lg(1/2+x)=lg1/2-lgx;
2. 2lgx=-lg1/(6-x2).

1)

$$\lg \left( \frac{1}{2} + x \right) = \lg \frac{1}{2} — \lg x;$$ $$\lg \left( \frac{1 + 2x}{2} \right) = \lg \frac{1}{2x};$$ $$\frac{1 + 2x}{2} = \frac{1}{2x}; \quad | \cdot 2x;$$ $$x(1 + 2x) = 1;$$ $$2x^2 + x — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9; \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{1}{2} + x > 0, \text{ отсюда } x > -\frac{1}{2};$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2)

$$2 \lg x = -\lg \frac{1}{6 — x^2};$$ $$\lg x^2 = \lg (6 — x^2);$$ $$x^2 = 6 — x^2;$$ $$2x^2 = 6;$$ $$x^2 = 3, \text{ отсюда } x = \pm \sqrt{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$6 — x^2 > 0, \text{ отсюда } -\sqrt{6} < x < \sqrt{6};$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x = \sqrt{3}$.

Задача 1:

Условие:

$$\lg \left( \frac{1}{2} + x \right) = \lg \frac{1}{2} — \lg x$$

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Используем одно из свойств логарифмов: разность логарифмов $\lg a — \lg b = \lg \frac{a}{b}$. Преобразуем правую часть уравнения:

$$\lg \left( \frac{1}{2} + x \right) = \lg \left( \frac{\frac{1}{2}}{x} \right)$$

Это упрощает наше уравнение до вида:

$$\lg \left( \frac{1}{2} + x \right) = \lg \left( \frac{1}{2x} \right)$$

Шаг 2: Применение свойства логарифмов

Теперь, так как у нас одинаковые логарифмы, мы можем приравнять аргументы логарифмов, поскольку $\lg a = \lg b$ приводит к $a = b$, если $a > 0$ и $b > 0$. Это даёт нам уравнение:

$$\frac{1}{2} + x = \frac{1}{2x}$$

Шаг 3: Умножение обеих сторон на $2x$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на $2x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$$2x \left( \frac{1}{2} + x \right) = 2x \cdot \frac{1}{2x}$$

Раскрываем скобки с левой стороны и упрощаем правую сторону:

$$x + 2x^2 = 1$$

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Теперь перенесём все члены на одну сторону, чтобы уравнение стало равным нулю:

$$2x^2 + x — 1 = 0$$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Это квадратное уравнение, которое можно решить по формуле дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Для уравнения $2x^2 + x — 1 = 0$ $a = 2$, $b = 1$, $c = -1$, подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Дискриминант положительный, следовательно, у уравнения есть два различных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $a = 2$, $b = 1$, $D = 9$:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Проверка условий существования логарифмов

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выражение в логарифмах будет определено. Логарифм существует только для положительных аргументов. У нас есть два логарифма: $\lg \left( \frac{1}{2} + x \right)$ и $\lg x$.

Для выражения $\lg \left( \frac{1}{2} + x \right)$, чтобы оно было определено, необходимо, чтобы $\frac{1}{2} + x > 0$. Отсюда:

$$x > -\frac{1}{2}$$

Для выражения $\lg x$, чтобы оно было определено, необходимо, чтобы $x > 0$.

Итак, два условия:

$$x > -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x > 0$$

Пересечение этих двух условий даёт:

$$x > 0$$

Шаг 7: Выбор подходящего корня

Теперь из двух корней $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{1}{2}$, выбираем тот, который удовлетворяет условию $x > 0$. Это $x = \frac{1}{2}$.

Ответ:

$$x = \frac{1}{2}$$

Задача 2:

Условие:

$$2 \lg x = -\lg \frac{1}{6 — x^2}$$

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Используем свойства логарифмов. Переносим $-\lg \frac{1}{6 — x^2}$ на другую сторону:

$$2 \lg x = \lg \left( \frac{1}{6 — x^2} \right)^{-1}$$

Так как $\lg \frac{1}{a} = -\lg a$, то:

$$2 \lg x = \lg (6 — x^2)$$

Шаг 2: Преобразование логарифмов

Теперь у нас есть выражение:

$$\lg x^2 = \lg (6 — x^2)$$

Так как $\lg a = \lg b$ означает $a = b$, приравниваем аргументы логарифмов:

$$x^2 = 6 — x^2$$

Шаг 3: Решение уравнения

Переносим все $x^2$ на одну сторону:

$$x^2 + x^2 = 6$$ $$2x^2 = 6$$

Делим обе стороны на 2:

$$x^2 = 3$$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x$:

$$x = \pm \sqrt{3}$$

Шаг 4: Проверка условий существования логарифмов

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выражение в логарифмах будет определено.

1. Логарифм $\lg x$ существует, если $x > 0$, то есть $x > 0$.
2. Логарифм $\lg (6 — x^2)$ существует, если $6 — x^2 > 0$, то есть $x^2 < 6$, что даёт:

$$-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$$

Таким образом, $x$ должно быть положительным и удовлетворять $x < \sqrt{6}$.

Шаг 5: Выбор подходящего корня

Из возможных значений $x = \pm \sqrt{3}$, выбираем $x = \sqrt{3}$, так как оно удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ:

$$x = \sqrt{3}$$

Итог:

1. $x = \frac{1}{2}$
2. $x = \sqrt{3}$