ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1351 Алимов — Подробные Ответы

1. ln2/(x+1) = ln(x+2);
2. log3 (корень (3x-6)) — log3 (корень (x-3))=1.

$\ln \frac{2}{x+1} = \ln (x+2)$;

$$\frac{2}{x+1} = x+2 \quad | \cdot (x+1);$$ $$2 = (x+1)(x+2);$$ $$2 = x^2 + 2x + x + 2;$$ $$x^2 + 3x = 0;$$ $$x \cdot (x + 3) = 0;$$ $$x_1 = -3 \text{ и } x_2 = 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 > 0, \text{ отсюда } x > -1;$$ $$x + 2 > 0, \text{ отсюда } x > -2;$$

Ответ: $x = 0$.

$\log_3 \sqrt{3x-6} — \log_3 \sqrt{x-3} = 1$;

$$\log_3 \frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}} = \log_3 3;$$ $$\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 3 \quad | \cdot \sqrt{x-3};$$ $$\sqrt{3x-6} = 3 \sqrt{x-3};$$ $$3x — 6 = 9(x — 3);$$ $$3x — 6 = 9x — 27;$$ $$-6x = -21, \text{ отсюда } x = 3.5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x — 6 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 2;$$ $$x — 3 > 0, \text{ отсюда } x > 3;$$

Ответ: $x = 3.5$.

Задача 1:

Условие:

$$\ln \frac{2}{x+1} = \ln (x+2)$$

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Задача состоит в решении уравнения с логарифмами. Для этого воспользуемся тем, что если $\ln a = \ln b$, то $a = b$, при условии, что оба выражения положительны. То есть, из уравнения:

$$\ln \frac{2}{x+1} = \ln (x+2)$$

получаем:

$$\frac{2}{x+1} = x + 2$$

Шаг 2: Умножение обеих сторон на $x+1$

Для избавления от дроби умножим обе стороны на $x+1$. Однако, необходимо помнить, что $x+1$ должно быть положительным, так как логарифм определён только для положительных чисел. Обратите внимание, что в дальнейшем будем учитывать, что $x > -1$. Умножаем обе стороны на $x+1$ (при условии, что $x \neq -1$):

$$2 = (x+1)(x+2)$$

Шаг 3: Раскрытие скобок

Теперь раскрываем скобки с правой стороны:

$$2 = x^2 + 2x + x + 2$$

Упрощаем выражение:

$$2 = x^2 + 3x + 2$$

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены на одну сторону, чтобы уравнение стало равным нулю:

$$x^2 + 3x + 2 — 2 = 0$$ $$x^2 + 3x = 0$$

Шаг 5: Вынесение общего множителя

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$$x(x + 3) = 0$$

Шаг 6: Решение уравнения

Теперь решим полученное уравнение. Оно имеет два корня:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3$$

Шаг 7: Проверка условий существования логарифмов

Необходимо проверить, при каких значениях $x$ выражение в логарифмах определено, то есть оба логарифма имеют положительные аргументы:

• В выражении $\ln \frac{2}{x+1}$ аргумент $\frac{2}{x+1}$ должен быть положительным, а значит, $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.
• В выражении $\ln (x+2)$ аргумент $(x+2)$ должен быть положительным, то есть $x + 2 > 0$, то есть $x > -2$.

Находим пересечение этих двух условий:

$$x > -1 \quad \text{и} \quad x > -2 \quad \Rightarrow \quad x > -1$$

Таким образом, из двух корней $x = 0$ и $x = -3$, подходящий только $x = 0$, так как $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > -1$.

Ответ:

$$x = 0$$

Задача 2:

Условие:

$$\log_3 \sqrt{3x-6} — \log_3 \sqrt{x-3} = 1$$

Шаг 1: Использование свойств логарифмов

Используем свойства логарифмов. Разность логарифмов можно преобразовать в логарифм от частного:

$$\log_3 \frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}} = 1$$

Шаг 2: Преобразование логарифма

Так как $\log_3 y = 1$ означает, что $y = 3$, то:

$$\frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}} = 3$$

Шаг 3: Умножение обеих сторон на $\sqrt{x-3}$

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на $\sqrt{x-3}$ (предполагая, что $x > 3$, так как подкоренные выражения должны быть положительными):

$$\sqrt{3x-6} = 3 \sqrt{x-3}$$

Шаг 4: Избавление от корней

Возведём обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

$$(\sqrt{3x-6})^2 = (3 \sqrt{x-3})^2$$ $$3x — 6 = 9(x — 3)$$

Шаг 5: Раскрытие скобок

Теперь раскрываем скобки с правой стороны:

$$3x — 6 = 9x — 27$$

Шаг 6: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$$3x — 9x = -27 + 6$$ $$-6x = -21$$

Шаг 7: Решение уравнения

Решаем для $x$:

$$x = \frac{-21}{-6} = 3.5$$

Шаг 8: Проверка условий существования логарифмов

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выражения в логарифмах имеют смысл:

• Для выражения $\sqrt{3x-6}$ аргумент $3x-6$ должен быть неотрицательным, то есть $3x — 6 \geq 0$, откуда $x \geq 2$.
• Для выражения $\sqrt{x-3}$ аргумент $x-3$ должен быть положительным, то есть $x — 3 > 0$, откуда $x > 3$.

Таким образом, из двух условий $x \geq 2$ и $x > 3$, получаем, что $x > 3$.

Ответ:

$$x = 3.5$$

Итог:

1. $x = 0$
2. $x = 3.5$