ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1350 Алимов — Подробные Ответы

1. (log2(x))2- log2(x) + 2=0;
2. (log3(x))2+5=2log3(x3).

$(\log_2 x)^2 — 3 \log_2 x + 2 = 0$;

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:
$y^2 — 3y + 2 = 0;$

$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$

Первое значение:
$\log_2 x = 1;$
$\log_2 x = \log_2 2^1, \text{отсюда } x = 2;$

Второе значение:
$\log_2 x = 2;$
$\log_2 x = \log_2 2^2, \text{отсюда } x = 4;$

Ответ: $x_1 = 2; \, x_2 = 4.$

$(\log_3 x)^2 + 5 = 2 \log_3 x^3$;

$(\log_3 x)^2 + 5 = 2 \cdot 3 \log_3 x$;
$(\log_3 x)^2 — 6 \log_3 x + 5 = 0$;

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:
$y^2 — 6y + 5 = 0;$

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$

Первое значение:
$\log_3 x = 1;$
$\log_3 x = \log_3 3^1, \text{отсюда } x = 3;$

Второе значение:
$\log_3 x = 5;$
$\log_3 x = \log_3 3^5, \text{отсюда } x = 243;$

Ответ: $x_1 = 3; \, x_2 = 243.$

1. Решение уравнения:

$$(\log_2 x)^2 — 3 \log_2 x + 2 = 0$$

Шаг 1. Замена переменной.

Для упрощения уравнения введем замену: $y = \log_2 x$. Тогда у нас получится квадратное уравнение относительно $y$:

$$y^2 — 3y + 2 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение.

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант. Для уравнения $y^2 — 3y + 2 = 0$ $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Шаг 3. Возвращаемся к $x$.

Теперь возвращаемся к исходной переменной $x$. У нас $y = \log_2 x$, следовательно, подставляем значения $y_1$ и $y_2$ и решаем для $x$:

1. Для $y_1 = 1$:

   $$\log_2 x = 1$$ $$x = 2^1 = 2$$

2. Для $y_2 = 2$:

   $$\log_2 x = 2$$ $$x = 2^2 = 4$$

Ответ: $x_1 = 2, \, x_2 = 4$.

2. Решение уравнения:

$$(\log_3 x)^2 + 5 = 2 \log_3 x^3$$

Шаг 1. Упростим правую часть.

Используем свойство логарифмов, что $\log_b a^n = n \log_b a$. Тогда правую часть можно упростить:

$$2 \log_3 x^3 = 2 \cdot 3 \log_3 x = 6 \log_3 x$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$(\log_3 x)^2 + 5 = 6 \log_3 x$$

Шаг 2. Переносим все в одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону:

$$(\log_3 x)^2 — 6 \log_3 x + 5 = 0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\log_3 x$. Пусть $y = \log_3 x$, тогда уравнение становится:

$$y^2 — 6y + 5 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение.

Для решения уравнения используем дискриминант. Для уравнения $y^2 — 6y + 5 = 0$ $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$$

Получаем два корня:

$$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Шаг 4. Возвращаемся к $x$.

Теперь возвращаемся к переменной $x$. У нас $y = \log_3 x$, следовательно, подставляем значения $y_1$ и $y_2$ и решаем для $x$:

1. Для $y_1 = 1$:

   $$\log_3 x = 1$$ $$x = 3^1 = 3$$

2. Для $y_2 = 5$:

   $$\log_3 x = 5$$ $$x = 3^5 = 243$$

Ответ: $x_1 = 3, \, x_2 = 243$.

Итоговые ответы:

1. $x_1 = 2, \, x_2 = 4$
2. $x_1 = 3, \, x_2 = 243$