ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 135 Алимов — Подробные Ответы

Являются ли взаимно обратными функции:

1. y= -x3 и y= — корень 3 степени x;
2. y= -x5 и y= корень 5 степени x;
3. y= x^-3 и y= 1/ корень 3 степени x;
4. y= корень 5 степени x3 и y= x корень 3 степени x2.

$\mathrm{1).\; y}=-x^3$ и $y=-\frac{3}{x}$

Первая функция:

$y=-x^3$;

$x^3=-y$;

$x=-\sqrt[3]{y}$.

Вторая функция:

$y=-\frac{3}{x}$;

$y\cdot 3=-x$;

$x=-\frac{3}{y}$.

Ответ: являются.

$\mathrm{2).\; y}=-x^5$ и $y=\frac{5}{x}$

Первая функция:

$y=-x^5$;

$x^5=-y$;

$x=-\sqrt[5]{y}$.

Вторая функция:

$y=\frac{5}{x}$;

$y\cdot 5=x$;

$x=\frac{y}{5}$.

Ответ: не являются.

$\mathrm{3).\; y}=x^{-3}$ и $y=\frac{3}{x}$

Первая функция:

$y=x^{-3}$;

$y=\frac{1}{x^3}$;

$x^3=\frac{1}{y}$;

$x=\frac{1}{\sqrt[3]{y}}$.

Вторая функция:

$y=\frac{3}{x}$;

$3x=y$;

$x=\frac{y}{3}$.

Ответ: являются.

$\mathrm{4).\; y}=\frac{5}{x^3}$ и $y=x^3{x}^2$

Первая функция:

$y=\frac{5}{x^3}$;

$y\cdot 5=x^3$;

$x=\sqrt[3]{\frac{y}{5}}$.

Вторая функция:

$y=x^3\cdot x^2$;

$y=x^5$;

$x^5=y$;

$x=\sqrt[5]{y}$.

Ответ: являются.

Задание 1

Функции:

1. $y = -x^3$
2. $y = -\frac{3}{x}$

Первая функция: $y = -x^3$

Для того чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить x через $y$.

Перепишем выражение: $y=-x^3$.

Для этого перенесем минус на правую сторону: $-y=x^3$.

Теперь извлекаем корень третьей степени (кубический корень) с обеих сторон:
$$x = -\sqrt[3]{y}$$

Таким образом, обратная функция для первой функции $y = -x^3$ — это $x = -\sqrt[3]{y}$.

Вторая функция: $y = -\frac{3}{x}$

Для второй функции выразим x через $y$.

Перепишем выражение: $y=-\frac{3}{x}$.

Умножим обе стороны на x, чтобы избавиться от дроби:

$$yx = -3$$

Теперь выразим x через $y$:

$$x = -\frac{3}{y}$$

Таким образом, обратная функция для второй функции $y = -\frac{3}{x}$ — это $x = -\frac{3}{y}$.

Проверка:

Сравнив обе функции, видим, что они действительно являются друг другом обратными. Для первой функции $y = -x^3$ и второй $y = -\frac{3}{x}$ можно сказать, что они взаимно обратны.

Ответ: являются.

Задание 2

Функции:

1. $y = -x^5$
2. $y = \frac{5}{x}$

Первая функция: $y = -x^5$

Для того чтобы найти обратную функцию, выразим x через $y$.

Перепишем выражение: $y=-x^5$.

Переносим минус на правую сторону: $-y=x^5$.

Извлекаем пятый корень с обеих сторон:
$$x = -\sqrt[5]{y}$$

Таким образом, обратная функция для первой функции $y = -x^5$ — это $x = -\sqrt[5]{y}$.

Вторая функция: $y = \frac{5}{x}$

Для второй функции выразим x через $y$.

Перепишем выражение: $y=\frac{5}{x}$.

Умножим обе стороны на x:

$$yx = 5$$

Теперь выразим x через $y$:

$$x = \frac{5}{y}$$

Таким образом, обратная функция для второй функции $y = \frac{5}{x}$ — это $x = \frac{5}{y}$.

Проверка:

Мы видим, что функции $x = -\sqrt[5]{y}$и $x = \frac{5}{y}$ не совпадают. Следовательно, данные функции не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.

Задание 3

Функции:

1. $y = x^{-3}$
2. $y = \frac{3}{x}$

Первая функция: $y = x^{-3}$

Для того чтобы найти обратную функцию, выразим x через $y$.

Перепишем выражение: $y=x^{-3}$, что эквивалентно $y = \frac{1}{x^3}$.

Извлекаем кубический корень с обеих сторон:
$$x^3 = \frac{1}{y}$$

Теперь извлекаем кубический корень с обеих сторон:
$$x = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$$

Таким образом, обратная функция для первой функции $y = x^{-3}$ — это $x = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$.

Вторая функция: $y = \frac{3}{x}$

Для второй функции выразим x через $y$.

Перепишем выражение: $y=\frac{3}{x}$$$.

Умножим обе стороны на x:

$$yx = 3$$

Теперь выразим x через $y$:

$$x = \frac{3}{y}$$

Таким образом, обратная функция для второй функции $y = \frac{3}{x}$ — это $x = \frac{3}{y}$.

Проверка:

Мы видим, что функции $x = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$ и $x = \frac{3}{y}$ являются взаимно обратными. Таким образом, эти функции являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

Задание 4

Функции:

1. $y = \frac{5}{x^3}$
2. $y = x^3 x^2$

Первая функция: $y = \frac{5}{x^3}$

Для того чтобы найти обратную функцию, выразим x через $y$.

Перепишем выражение: $y=\frac{5}{x^3}$.

Умножим обе стороны на $x^3$${}^{}$:

$$yx^3 = 5$$

Теперь выразим $x^3$ через $y$:

$$x^3 = \frac{5}{y}$$

Извлекаем кубический корень с обеих сторон:
$$x = \sqrt[3]{\frac{5}{y}}$$

Таким образом, обратная функция для первой функции $y = \frac{5}{x^3}$ — это $x = \sqrt[3]{\frac{5}{y}}$.

Вторая функция: $y = x^3 \cdot x^2$

Для второй функции выразим x через $y$.

Перепишем выражение: $y=x^5$.

Извлекаем пятый корень с обеих сторон:
$$x = \sqrt[5]{y}$$

Таким образом, обратная функция для второй функции $y = x^3 \cdot x^2$ — это $x = \sqrt[5]{y}$.

Проверка:

Сравнив обе функции $x = \sqrt[3]{\frac{5}{y}}$ и $x = \sqrt[5]{y}$, видим, что они могут быть преобразованы в взаимно обратные функции. Следовательно, эти функции являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

Итоговые ответы:

1. Ответ: являются.
2. Ответ: не являются.
3. Ответ: являются.
4. Ответ: являются.