ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1345 Алимов — Подробные Ответы

1. 5^(2x+5) * 7^(3x+1) = 35^1/2)5x+6);
2. 0,2×2 * 5^(2x+2) = (1/5)6.

1)

$$5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)};$$ $$5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = (5 \cdot 7)^{2.5x+3};$$ $$\frac{5^{2.5x+3} \cdot 7^{2.5x+3}}{5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1}} = 1;$$ $$5^{0.5x-2} \cdot 7^{-0.5x+2} = 1;$$ $$\frac{5^{0.5x}}{7^{0.5x}} \cdot \frac{7^2}{5^2} = 1;$$ $$\frac{5^{0.5x}}{7^{0.5x}} = \frac{5^2}{7^2};$$ $$0.5x = 2, \text{ отсюда } x = 4;$$

Ответ: $x = 4$.

2)

$$0.2 \cdot 5^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left( \frac{1}{5} \right)^6;$$ $$\left( \frac{1}{5} \right)^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6};$$ $$5^{-x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6};$$ $$-x^2 + 2x + 2 = -6;$$ $$x^2 — 2x — 8 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;$$

Ответ: $x_1 = -2; \, x_2 = 4$.

1. Решение уравнения:

$$5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)}$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть уравнения.

Сначала упростим правую часть. Мы знаем, что $35 = 5 \cdot 7$, тогда:

$$35^{\frac{1}{2}(5x+6)} = (5 \cdot 7)^{\frac{1}{2}(5x+6)} = 5^{\frac{1}{2}(5x+6)} \cdot 7^{\frac{1}{2}(5x+6)}$$

Таким образом, уравнение превращается в:

$$5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 5^{\frac{1}{2}(5x+6)} \cdot 7^{\frac{1}{2}(5x+6)}$$

Шаг 2. Разделим обе стороны на $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1}$.

Теперь рассмотрим дробь, которая поможет упростить уравнение:

$$\frac{5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1}}{5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1}} = 1$$

Теперь у нас:

$$\frac{5^{2.5x+3} \cdot 7^{2.5x+3}}{5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1}} = 1$$

Шаг 3. Упростим дробь.

Мы можем привести показатели степеней для каждого из оснований (5 и 7):

• Для 5: $5^{2.5x+3} / 5^{2x+5} = 5^{(2.5x+3) — (2x+5)} = 5^{0.5x-2}$
• Для 7: $7^{2.5x+3} / 7^{3x+1} = 7^{(2.5x+3) — (3x+1)} = 7^{-0.5x+2}$

Теперь у нас следующее уравнение:

$$5^{0.5x-2} \cdot 7^{-0.5x+2} = 1$$

Шаг 4. Разделим на произведение оснований.

Мы знаем, что если произведение двух чисел равно 1, то оба числа равны 1. То есть:

$$5^{0.5x-2} = 1 \quad \text{и} \quad 7^{-0.5x+2} = 1$$

Шаг 5. Решим для основания 5.

Чтобы $5^{0.5x-2} = 1$, показатель степени должен быть равен нулю. Поэтому:

$$0.5x — 2 = 0$$

Решим это уравнение:

$$0.5x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Шаг 6. Проверка для основания 7.

Теперь решим для основания 7:

Чтобы $7^{-0.5x+2} = 1$, показатель степени также должен быть равен нулю:

$$-0.5x + 2 = 0$$

Решим это уравнение:

$$-0.5x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Шаг 7. Заключение.

Мы получили одно и то же значение для $x$ из обоих уравнений: $x = 4$.

Ответ: $x = 4$.

2. Решение уравнения:

$$0.2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left( \frac{1}{5} \right)^6$$

Шаг 1. Перепишем 0.2 и $\frac{1}{5}$ как степени 5.

Запишем 0.2 как $\frac{1}{5}$:

$$0.2^{x^2} = \left( \frac{1}{5} \right)^{x^2} = 5^{-x^2}$$

Теперь у нас уравнение:

$$5^{-x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6}$$

Шаг 2. Используем свойства степени с одинаковым основанием.

На левой стороне у нас произведение степеней с одинаковым основанием (основание 5). Используем правило, что $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$5^{-x^2 + 2x + 2} = 5^{-6}$$

Шаг 3. Приравняем показатели степеней.

Поскольку основания одинаковые, мы приравниваем показатели степеней:

$$-x^2 + 2x + 2 = -6$$

Шаг 4. Переносим все на одну сторону.

Переносим все на одну сторону уравнения:

$$x^2 — 2x — 8 = 0$$

Шаг 5. Решаем квадратное уравнение.

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Так как дискриминант положительный, у нас два корня. Находим их с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 6}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

Шаг 6. Заключение.

Ответ: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.