ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1343 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^(x-7) = 81;
2. 2^(x2-5x+6,5)= корень 2;
3. (1/4 *4x)x= 2^(2x+6).

1. $3^{x-7} = 81$;
   $3^{x-7} = 3^4$;
   $x — 7 = 4$, отсюда $x = 11$;
   Ответ: $x = 11$.
2. $2^{x^2 — 5x + 6.5} = \sqrt{2}$;
   $2^{x^2 — 5x + 6.5} = 2^{0.5}$;
   $x^2 — 5x + 6.5 = 0.5$;
   $x^2 — 5x + 6 = 0$;
   $D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
   $x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
   Ответ: $x_1 = 2$; $x_2 = 3$.
3. $\left( \frac{1}{4} \cdot 4^x \right)^x = 2^{2x+6}$;
   $(4^{x-1})^x = (4^{0.5})^{2x+6}$;
   $4^{x^2 — x} = 4^{x + 3}$;
   $x^2 — x = x + 3$;
   $x^2 — 2x — 3 = 0$;
   $D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
   $x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;
   Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = 3$.

Уравнение 1: $3^{x-7} = 81$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Итак, у нас есть уравнение:

$$3^{x-7} = 81.$$

Мы видим, что справа стоит число $81$, которое можно выразить как степень числа 3:

$$81 = 3^4.$$

Подставляем это в уравнение:

$$3^{x-7} = 3^4.$$

Шаг 2: Приравнивание показателей

Так как основания обеих степеней одинаковые (это 3), мы можем приравнять показатели степеней:

$$x — 7 = 4.$$

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь решаем полученное линейное уравнение:

$$x — 7 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 4 + 7 = 11.$$

Ответ:

$$x = 11.$$

Уравнение 2: $2^{x^2 — 5x + 6.5} = \sqrt{2}$

Шаг 1: Преобразование правой части

В правой части у нас стоит $\sqrt{2}$, которое можно записать как $2^{0.5}$:

$$2^{x^2 — 5x + 6.5} = 2^{0.5}.$$

Шаг 2: Приравнивание показателей

Так как основания обеих степеней одинаковые (это 2), мы можем приравнять показатели степеней:

$$x^2 — 5x + 6.5 = 0.5.$$

Шаг 3: Преобразование уравнения

Теперь решаем уравнение:

$$x^2 — 5x + 6.5 = 0.5 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 6 = 0.$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2 — 5x + 6 = 0.$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2,$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Ответ:

$$x_1 = 2, \quad x_2 = 3.$$

Уравнение 3: $\left( \frac{1}{4} \cdot 4^x \right)^x = 2^{2x+6}$

Шаг 1: Преобразование выражения

Начнем с преобразования левой части уравнения. Рассмотрим выражение $\frac{1}{4} \cdot 4^x$:

$$\frac{1}{4} \cdot 4^x = 4^{x-1}.$$

Теперь уравнение примет вид:

$$(4^{x-1})^x = 2^{2x+6}.$$

Шаг 2: Упростим левую часть

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$$4^{x^2 — x} = 2^{2x + 6}.$$

Шаг 3: Преобразование основания 4 в основание 2

Преобразуем основание 4 в степень 2, так как $4 = 2^2$:

$$(2^2)^{x^2 — x} = 2^{2x + 6}.$$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$2^{2(x^2 — x)} = 2^{2x + 6}.$$

Шаг 4: Приравнивание показателей

Так как основания обеих степеней одинаковые (это 2), мы можем приравнять показатели степеней:

$$2(x^2 — x) = 2x + 6.$$

Шаг 5: Упростим уравнение

Упростим уравнение:

$$2x^2 — 2x = 2x + 6.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$2x^2 — 2x — 2x — 6 = 0,$$ $$2x^2 — 4x — 6 = 0.$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x^2 — 2x — 3 = 0.$$

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь решаем квадратное уравнение:

$$x^2 — 2x — 3 = 0.$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Ответ:

$$x_1 = -1, \quad x_2 = 3.$$

Итоговые ответы:

1. $x = 11$.
2. $x_1 = 2, \quad x_2 = 3$.
3. $x_1 = -1, \quad x_2 = 3$.