ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1340 Алимов — Подробные Ответы

Найти наименьший корень уравнения |x2-3x-6|=2x.

Найти наименьший корень уравнения:
$|x^2 — 3x — 6| = 2x;$

Число под знаком модуля:
$x^2 — 3x — 6 \geq 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 6 = 9 + 24 = 33, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{3 — \sqrt{33}}{2} \approx \frac{3 — 5,7}{2} \approx \frac{-2,7}{2} \approx -1,3;$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx \frac{3 + 5,7}{2} \approx \frac{8,7}{2} \approx 4,3;$
$(x + 1,3)(x — 4,3) \geq 0;$
$x \leq -1,3 \text{ и } x \geq 4,3;$

Если $x \leq -1,3$ и $x \geq 4,3$, тогда:
$x^2 — 3x — 6 = 2x;$
$x^2 — 5x — 6 = 0;$
$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;$

Если $-1,3 < x < 4,3$, тогда:
$-(x^2 — 3x — 6) = 2x;$
$-x^2 + 3x + 6 — 2x = 0;$
$x^2 — x — 6 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$

Ответ: $x = 3$.

Уравнение: $|x^2 — 3x — 6| = 2x$

Шаг 1: Рассмотрение случаев для модуля

Модуль выражения $|x^2 — 3x — 6|$ всегда равен самому выражению, если оно неотрицательно, и отрицательному значению выражения, если оно отрицательно. То есть, мы должны рассмотреть два случая:

1. $x^2 — 3x — 6 \geq 0$, то есть $|x^2 — 3x — 6| = x^2 — 3x — 6$,
2. $x^2 — 3x — 6 < 0$, то есть $|x^2 — 3x — 6| = -(x^2 — 3x — 6) = -x^2 + 3x + 6$.

Для того чтобы решить это уравнение, нужно найти такие $x$, для которых выполняются оба случая, а затем решить соответствующие уравнения.

Шаг 2: Решение неравенства $x^2 — 3x — 6 \geq 0$

Найдем, при каких значениях $x$ выражение $x^2 — 3x — 6 \geq 0$. Для этого решим квадратное неравенство:

$$x^2 — 3x — 6 \geq 0.$$

Для того чтобы решить это неравенство, сначала решим соответствующее квадратное уравнение:

$$x^2 — 3x — 6 = 0.$$

Шаг 3: Вычисление корней квадратного уравнения

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},$$

где $a = 1$, $b = -3$, и $c = -6$. Сначала вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33.$$

Теперь подставляем значения в формулу для корней:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — \sqrt{33}}{2} \approx \frac{3 — 5.744}{2} \approx \frac{-2.744}{2} \approx -1.372,$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx \frac{3 + 5.744}{2} \approx \frac{8.744}{2} \approx 4.372.$$

Таким образом, корни квадратного уравнения:

$$x_1 \approx -1.372, \quad x_2 \approx 4.372.$$

Шаг 4: Решение неравенства

Теперь решим неравенство $x^2 — 3x — 6 \geq 0$, учитывая корни $x_1 \approx -1.372$ и $x_2 \approx 4.372$. Неравенство будет выполняться на интервалах:

$$x \leq -1.372 \quad \text{или} \quad x \geq 4.372.$$

Шаг 5: Рассмотрение двух случаев

Теперь, зная, при каких значениях $x$ выполняется $x^2 — 3x — 6 \geq 0$, рассмотрим два случая в уравнении $|x^2 — 3x — 6| = 2x$.

Случай 1: $x^2 — 3x — 6 = 2x$

Для значений $x \leq -1.372$ и $x \geq 4.372$ у нас выполняется $|x^2 — 3x — 6| = x^2 — 3x — 6$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$x^2 — 3x — 6 = 2x.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 — 3x — 6 = 2x,$$ $$x^2 — 5x — 6 = 0.$$

Вычисляем дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49.$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 7}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6.$$

Шаг 6: Рассмотрение интервалов

Так как $x \leq -1.372$ или $x \geq 4.372$, мы рассматриваем только те корни, которые лежат в этих интервалах:

• $x_1 = -1$ — это решение не подходит, так как оно не удовлетворяет условию $x \leq -1.372$.
• $x_2 = 6$ — это решение подходит, так как оно удовлетворяет условию $x \geq 4.372$.

Таким образом, из первого случая $x = 6$.

Случай 2: $-(x^2 — 3x — 6) = 2x$

Для значений $-1.372 < x < 4.372$ у нас выполняется $|x^2 — 3x — 6| = -(x^2 — 3x — 6)$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$-(x^2 — 3x — 6) = 2x,$$ $$-x^2 + 3x + 6 = 2x,$$ $$-x^2 + 3x + 6 — 2x = 0,$$ $$-x^2 + x + 6 = 0,$$ $$x^2 — x — 6 = 0.$$

Вычисляем дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2,$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3.$$

Шаг 7: Проверка на интервале

Так как $-1.372 < x < 4.372$, оба корня $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$ лежат в этом интервале.

Шаг 8: Ответ

Наименьший корень из всех возможных значений $x$:

$$x = -2.$$