ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1337 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что корни уравнения ах2 + bх + а = 0 есть взаимно обратные числа, если а =/ 0.

Доказать, что корни уравнения есть взаимообратные числа;

$ax^2 + bx + a = 0$, если $a \neq 0$;

$D = b^2 — 4 \cdot a \cdot a = b^2 — 4a^2$, тогда:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4a^2}}{2a}$$

Найдем произведение корней уравнения:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b — \sqrt{b^2 — 4a^2}}{2a} \cdot \frac{-b + \sqrt{b^2 — 4a^2}}{2a} = \frac{b^2 — (b^2 — 4a^2)}{4a^2} = 1;$$ $$x_1 \cdot x_2 = 1, \text{ отсюда } x_1 = \frac{1}{x_2} \text{ или } x_2 = \frac{1}{x_1};$$

Таким образом, корни данного уравнения являются взаимообратными числами, что и требовалось доказать.

Уравнение:

$$ax^2 + bx + a = 0, \quad \text{при условии} \quad a \neq 0.$$

Шаг 1: Вычисление дискриминанта

Для начала, как обычно при решении квадратного уравнения, вычислим дискриминант $D$. Формула для дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ следующая:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае $a$ и $c$ равны, так как уравнение $ax^2 + bx + a = 0$, то $c = a$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4 \cdot a \cdot a = b^2 — 4a^2.$$

Шаг 2: Нахождение корней уравнения

Корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ по формуле Виета будут вычисляться следующим образом:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим найденное значение дискриминанта $D = b^2 — 4a^2$ в эту формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4a^2}}{2a}.$$

Теперь у нас есть выражение для корней уравнения $x_1$ и $x_2$:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{b^2 — 4a^2}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 — 4a^2}}{2a}.$$

Шаг 3: Произведение корней

Теперь нам нужно найти произведение корней уравнения. Согласно свойствам корней квадратного уравнения, произведение корней можно выразить через коэффициенты уравнения следующим образом:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$$

Так как в нашем уравнении $c = a$, то произведение корней будет:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{a} = 1.$$

Теперь, чтобы еще раз убедиться в этом, найдем произведение корней, используя их выражения:

$$x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b — \sqrt{b^2 — 4a^2}}{2a} \right) \cdot \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 — 4a^2}}{2a} \right).$$

Это произведение — произведение двух биномиальных выражений. Мы можем применить формулу разности квадратов:

$$(x_1 \cdot x_2) = \frac{(-b — \sqrt{b^2 — 4a^2})(-b + \sqrt{b^2 — 4a^2})}{4a^2}.$$

По формуле разности квадратов $(A — B)(A + B) = A^2 — B^2$, где $A = -b$, а $B = \sqrt{b^2 — 4a^2}$, получаем:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 — (\sqrt{b^2 — 4a^2})^2}{4a^2}.$$

Вычислим числители:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 — (b^2 — 4a^2)}{4a^2} = \frac{b^2 — b^2 + 4a^2}{4a^2} = \frac{4a^2}{4a^2} = 1.$$

Шаг 4: Заключение

Таким образом, мы доказали, что произведение корней уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ равно 1:

$$x_1 \cdot x_2 = 1.$$

Это означает, что один корень является взаимно обратным другого, то есть:

$$x_1 = \frac{1}{x_2} \quad \text{или} \quad x_2 = \frac{1}{x_1}.$$

Таким образом, корни уравнения являются взаимообратными числами.

Ответ:

Корни уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ являются взаимообратными числами, что и требовалось доказать.