ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1336 Алимов — Подробные Ответы

При каком условии трёхчлен ах2 + Ьх + с является квадратом двучлена?

Трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена, если уравнение

$ax^2 + bx + c = 0$

имеет ровно один корень, при этом должно выполняться условие: $a > 0$ и $c > 0$.

Найдем отношение значений параметров:

$$ax^2 + bx + c = 0;$$ $$D = b^2 — 4ac = 0;$$ $$b^2 = 4ac;$$

Ответ: $a > 0$, $c > 0$, $b^2 = 4ac$.

Шаг 1: Что значит «трехчлен является квадратом двучлена»?

Когда говорят, что трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена, это значит, что его можно представить в виде:

$$(ax^2 + bx + c) = (px + q)^2,$$

где $p$ и $q$ — некоторые числа, а выражение $(px + q)^2$ — это квадрат двучлена.

Раскроем квадрат двучлена:

$$(px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2.$$

Шаг 2: Сравнение с исходным трехчленом

Теперь давайте сравним полученное выражение с исходным трехчленом $ax^2 + bx + c$. Раскрыв квадрат, мы получим:

$$p^2x^2 + 2pqx + q^2.$$

Это должно быть равно:

$$ax^2 + bx + c.$$

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ из обеих сторон уравнения:

1. Коэффициент при $x^2$: $p^2 = a$,
2. Коэффициент при $x$: $2pq = b$,
3. Свободный член: $q^2 = c$.

Таким образом, для того, чтобы трехчлен $ax^2 + bx + c$ был квадратом двучлена, должны выполняться следующие условия:

$$p^2 = a, \quad 2pq = b, \quad q^2 = c.$$

Шаг 3: Условия для $a$, $b$ и $c$

Рассмотрим, что мы можем извлечь из этих уравнений:

Из условия $p^2 = a$:

• $a$ должно быть положительным числом, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. То есть $a > 0$.

Из условия $q^2 = c$:

• $c$ также должно быть положительным числом, так как квадрат числа всегда неотрицателен. То есть $c > 0$.

Из условия $2pq = b$:

• $p$ и $q$ зависят от $a$ и $c$, а также от $b$. Чтобы удовлетворить этому условию, необходимо, чтобы $b^2 = 4ac$.

Шаг 4: Условие для существования одного корня

Чтобы уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имело ровно один корень, его дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для того, чтобы у уравнения был ровно один корень, должно быть выполнено условие $D = 0$, то есть:

$$b^2 — 4ac = 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 4ac.$$

Шаг 5: Итоговые условия

Мы пришли к следующему выводу:

1. $a > 0$, так как $p^2 = a$,
2. $c > 0$, так как $q^2 = c$,
3. $b^2 = 4ac$, чтобы уравнение имело один корень и было квадратом двучлена.

Таким образом, трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена при следующих условиях:

$$a > 0, \quad c > 0, \quad b^2 = 4ac.$$

Ответ:

Трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена при условии, что:

$$a > 0, \quad c > 0, \quad b^2 = 4ac.$$