ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1335 Алимов — Подробные Ответы

1. x2+ax-b2+a2/4=0;
2. 2x/(2x-a)-x/(2x+a) = 5a2/(4×2-a2).

$x^2 + ax — b^2 + \frac{a^2}{4} = 0;$

$x^2 + ax — \left( b^2 — \frac{a^2}{4} \right) = 0;$

$D = a^2 + 4 \left( b^2 — \frac{a^2}{4} \right) = a^2 + 4b^2 — a^2 = 4b^2,$ тогда:

$x = \frac{-a \pm \sqrt{4b^2}}{2} = \frac{-a \pm 2b}{2} = -\frac{a}{2} \pm b;$

Ответ: $x=-\frac{a}{2}\pm b\mathrm{.}$

2) $x = -\frac{a}{2} \pm b.$$\frac{2x}{2x-a} — \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2-a^2} \quad | \cdot (2x-a)(2x+a);$

$2x(2x+a) — x(2x-a) = 5a^2;$

$4x^2 + 2ax — 2x^2 + ax — 5a^2 = 0;$

$2x^2 + 3ax — 5a^2 = 0;$

$D = (3a)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5a^2 = 9a^2 + 40a^2 = 49a^2,$ тогда:

$x_1 = \frac{-3a — 7a}{2 \cdot 2} = \frac{-10a}{4} = -2,5a;$

$x_2 = \frac{-3a + 7a}{2 \cdot 2} = \frac{4a}{4} = a;$

Ответ: $x_1 = -2,5a;$ $x_2 = a.$

Уравнение 1: $x^2 + ax — b^2 + \frac{a^2}{4} = 0$

Шаг 1: Перепишем уравнение в удобной форме

Исходное уравнение:

$$x^2 + ax — b^2 + \frac{a^2}{4} = 0.$$

Переносим все слагаемые, содержащие $b$ и $a$, в одну сторону уравнения:

$$x^2 + ax = b^2 — \frac{a^2}{4}.$$

Теперь у нас есть уравнение, которое выглядит как квадратное относительно $x$.

Шаг 2: Вычисление дискриминанта

Для решения квадратного уравнения $x^2 + ax — \left( b^2 — \frac{a^2}{4} \right) = 0$, мы используем стандартную формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = a$, и $c = — \left( b^2 — \frac{a^2}{4} \right)$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = a^2 — 4 \cdot 1 \cdot \left( -b^2 + \frac{a^2}{4} \right).$$

Теперь упрощаем:

$$D = a^2 + 4 \left( b^2 — \frac{a^2}{4} \right).$$

Далее раскрываем скобки:

$$D = a^2 + 4b^2 — a^2 = 4b^2.$$

Шаг 3: Нахождение корней

Теперь, зная дискриминант $D = 4b^2$, мы можем найти корни уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит следующим образом:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

В нашем случае $b = a$ и $D = 4b^2$, поэтому подставляем в формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{-a \pm \sqrt{4b^2}}{2}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из $4b^2$:

$$x = \frac{-a \pm 2b}{2}.$$

Разделим числитель на 2:

$$x = -\frac{a}{2} \pm b.$$

Ответ для уравнения 1:

$$x = -\frac{a}{2} \pm b.$$

Уравнение 2: $\frac{2x}{2x-a} — \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2-a^2}$

Шаг 1: Умножение обеих частей на общий знаменатель

Для удобства работы с дробями умножим обе части уравнения на $(2x — a)(2x + a)$. Это общий знаменатель, который позволяет избавиться от дробей в уравнении:

$$\left( \frac{2x}{2x — a} — \frac{x}{2x + a} \right) \cdot (2x — a)(2x + a) = \frac{5a^2}{4x^2 — a^2} \cdot (2x — a)(2x + a).$$

Теперь умножаем:

$$2x(2x + a) — x(2x — a) = 5a^2.$$

Шаг 2: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$$2x(2x + a) = 4x^2 + 2ax,$$ $$x(2x — a) = 2x^2 — ax.$$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$4x^2 + 2ax — 2x^2 + ax = 5a^2.$$

Шаг 3: Упрощение

Теперь соберем все подобные члены:

$$4x^2 — 2x^2 + 2ax + ax = 5a^2,$$ $$2x^2 + 3ax = 5a^2.$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $x$:

$$2x^2 + 3ax — 5a^2 = 0.$$

Для нахождения корней этого уравнения снова используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае $a = 2$, $b = 3a$, $c = -5a^2$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (3a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5a^2) = 9a^2 + 40a^2 = 49a^2.$$

Шаг 5: Нахождение корней

Теперь, зная дискриминант $D = 49a^2$, мы можем найти корни уравнения. Используем формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем $b = 3a$, $D = 49a^2$ и $a = 2$ в формулу:

$$x_1 = \frac{-3a — 7a}{2 \cdot 2} = \frac{-10a}{4} = -2.5a,$$ $$x_2 = \frac{-3a + 7a}{2 \cdot 2} = \frac{4a}{4} = a.$$

Ответ для уравнения 2:

$$x_1 = -2.5a, \quad x_2 = a.$$

Итоговый ответ:

1. Для уравнения $x^2 + ax — b^2 + \frac{a^2}{4} = 0$ ответ: $x = -\frac{a}{2} \pm b$.
2. Для уравнения $\frac{2x}{2x — a} — \frac{x}{2x + a} = \frac{5a^2}{4x^2 — a^2}$ ответ: $x_1 = -2.5a$, $x_2 = a$.