ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1333 Алимов — Подробные Ответы

1. х4 — 11×2 + 30 = 0;
2. 2х4 — 5×2 + 2 = 0.

$x^4 — 11x^2 + 30 = 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:

$y^2 — 11y + 30 = 0;$

$D = 11^2 — 4 \cdot 30 = 121 — 120 = 1$, тогда:

$y_1 = \frac{11 — 1}{2} = 5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{11 + 1}{2} = 6;$

$x_1 = \pm \sqrt{5} \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{6};$

Ответ: $x_1 = \pm \sqrt{5}$; $x_2 = \pm \sqrt{6}$.

$2x^4 — 5x^2 + 2 = 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:

$2y^2 — 5y + 2 = 0;$

$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;$

$x_1 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{2};$

Ответ: $x_1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$; $x_2 = \pm \sqrt{2}$.

Уравнение 1: $x^4 — 11x^2 + 30 = 0$

Шаг 1: Замена переменной

Это уравнение является биквадратным (содержит степени переменной $x$, равные четным числам). Для упрощения решения введем замену переменной:

$$y = x^2.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 11y + 30 = 0.$$

Это обычное квадратное уравнение относительно $y$, и его можно решить стандартным методом.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения $y^2 — 11y + 30 = 0$ используем формулу для нахождения дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В данном случае коэффициенты $a = 1$, $b = -11$, $c = 30$. Подставляем их в формулу для дискриминанта:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 — 120 = 1.$$

Шаг 3: Нахождение корней

Так как дискриминант положительный ($D = 1 > 0$), у нас будет два действительных корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -11$, $D = 1$ и $a = 1$:

$$y_1 = \frac{11 — 1}{2} = \frac{10}{2} = 5,$$ $$y_2 = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6.$$

Таким образом, у нас есть два значения для $y$:

$$y_1 = 5 \quad \text{и} \quad y_2 = 6.$$

Шаг 4: Возврат к переменной $x$

Так как $y = x^2$, подставляем найденные значения $y_1 = 5$ и $y_2 = 6$ в $x^2 = y$:

$$x^2 = 5 \quad \text{или} \quad x^2 = 6.$$

Теперь находим значения $x$:

1. Для $x^2 = 5$, получаем:

   $$x = \pm \sqrt{5}.$$

2. Для $x^2 = 6$, получаем:

   $$x = \pm \sqrt{6}.$$

Ответ для уравнения 1:

$$x_1 = \pm \sqrt{5}, \quad x_2 = \pm \sqrt{6}.$$

Уравнение 2: $2x^4 — 5x^2 + 2 = 0$

Шаг 1: Замена переменной

Как и в предыдущем уравнении, у нас есть биквадратное уравнение, которое можно решить с помощью замены переменной. Пусть:

$$y = x^2.$$

Тогда уравнение превращается в:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0.$$

Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения $2y^2 — 5y + 2 = 0$ снова используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В данном случае $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.$$

Шаг 3: Нахождение корней

Так как дискриминант положительный ($D = 9 > 0$), у нас будет два действительных корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -5$, $D = 9$ и $a = 2$:

$$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.$$

Таким образом, мы получаем два значения для $y$:

$$y_1 = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = 2.$$

Шаг 4: Возврат к переменной $x$

Теперь, так как $y = x^2$, подставляем найденные значения $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = 2$ в $x^2 = y$:

1. Для $x^2 = \frac{1}{2}$, получаем:

   $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

2. Для $x^2 = 2$, получаем:

   $$x = \pm \sqrt{2}.$$

Ответ для уравнения 2:

$$x_1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \pm \sqrt{2}.$$

Итоговый ответ:

1. Для уравнения $x^4 — 11x^2 + 30 = 0$ ответ: $x_1 = \pm \sqrt{5}$, $x_2 = \pm \sqrt{6}$.
2. Для уравнения $2x^4 — 5x^2 + 2 = 0$ ответ: $x_1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x_2 = \pm \sqrt{2}$.