ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1330 Алимов — Подробные Ответы

1. $\frac{3x-1}{x+2} — \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$;
2. $\frac{x+1}{x+3} — \frac{12}{x^2-9} = \frac{2x-1}{3-x}$

1) $\frac{3x-1}{x+2} — \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$;

$$\frac{3x-8}{x+2} = \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} — \frac{18}{x-2} \quad | \cdot (x-2)(x+2);$$ $$(3x-8)(x-2) = 7x^2 — 28 — 18(x+2);$$ $$3x^2 — 6x — 8x + 16 = 7x^2 — 28 — 18x — 36;$$ $$3x^2 — 14x + 16 = 7x^2 — 18x — 64;$$ $$4x^2 — 4x — 80 = 0;$$ $$x^2 — x — 20 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1-9}{2} = \frac{-8}{2} = -4;$$ $$x_2 = \frac{1+9}{2} = \frac{10}{2} = 5;$$

Ответ: $-4; 5$.

2) $\frac{x+1}{x+3} — \frac{12}{x^2-9} = \frac{2x-1}{3-x}$;

$$\frac{x+1}{x+3} — \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{1-2x}{x-3} \quad | \cdot (x-3)(x+3);$$ $$(x+1)(x-3) — 12 = (1-2x)(x+3);$$ $$x^2 — 3x + x — 3 — 12 = x + 3 — 2x^2 — 6x;$$ $$x^2 — 2x — 15 = -2x^2 — 5x + 3;$$ $$3x^2 + 3x — 18 = 0;$$ $$x^2 + x — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3;$$ $$x_2 = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$(x-3)(x+3) \neq 0;$$ $$x_1 \neq 3 \text{ и } x_2 \neq -3;$$

Ответ: $x = 2$

1) $\frac{3x-1}{x+2} — \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$

Шаг 1: Приведение подобных выражений

Уравнение имеет несколько дробей. Важно заметить, что $2+x = x+2$ и $2-x = -(x-2)$, а также $x^2 — 4 = (x-2)(x+2)$. Подставим эти выражения и перепишем уравнение.

$$\frac{3x-1}{x+2} — \frac{7}{x+2} = \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} — \frac{18}{x-2}$$

Шаг 2: Объединение дробей с одинаковыми знаменателями

Первая и вторая дроби с левосторонней части уравнения имеют общий знаменатель $x+2$, можно их объединить:

$$\frac{3x-1}{x+2} — \frac{7}{x+2} = \frac{(3x — 1) — 7}{x+2} = \frac{3x — 8}{x+2}$$

Теперь перепишем уравнение с объединенной левой частью:

$$\frac{3x-8}{x+2} = \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} — \frac{18}{x-2}$$

Шаг 3: Умножение обеих частей на общий знаменатель

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$:

$$(x+2)(x-2) \cdot \frac{3x-8}{x+2} = (x+2)(x-2) \cdot \left( \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} — \frac{18}{x-2} \right)$$

При этом $(x+2)$ и $(x-2)$ в числителях и знаменателях сокращаются. У нас остается:

$$(3x-8)(x-2) = 7x^2 — 28 — 18(x+2)$$

Шаг 4: Раскрытие скобок

Теперь раскрываем скобки:

$$(3x-8)(x-2) = 3x(x-2) — 8(x-2) = 3x^2 — 6x — 8x + 16 = 3x^2 — 14x + 16$$

А теперь распишем правую часть:

$$7x^2 — 28 — 18(x+2) = 7x^2 — 28 — 18x — 36 = 7x^2 — 18x — 64$$

Получаем уравнение:

$$3x^2 — 14x + 16 = 7x^2 — 18x — 64$$

Шаг 5: Перенос всех членов в одну сторону

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

$$3x^2 — 14x + 16 — 7x^2 + 18x + 64 = 0$$

Упростим:

$$(3x^2 — 7x^2) + (-14x + 18x) + (16 + 64) = 0$$ $$-4x^2 + 4x + 80 = 0$$

Шаг 6: Деление на -4

Чтобы упростить уравнение, разделим все на $-4$:

$$x^2 — x — 20 = 0$$

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение $x^2 — x — 20 = 0$ с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -1$, $c = -20$. Подставляем значения:

$$D = (-1)^2 — 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 — 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Ответ: $-4; 5$.

2) $\frac{x+1}{x+3} — \frac{12}{x^2-9} = \frac{2x-1}{3-x}$

Шаг 1: Приведение подобных выражений

Уравнение можно записать следующим образом:

$$\frac{x+1}{x+3} — \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{1-2x}{x-3}$$

Здесь $x^2 — 9 = (x-3)(x+3)$, а также $3 — x = -(x — 3)$. Подставляем и переписываем уравнение:

$$\frac{x+1}{x+3} — \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{-(2x-1)}{x-3}$$

Шаг 2: Умножение обеих частей на общий знаменатель

Умножаем обе части на $(x-3)(x+3)$:

$$(x-3)(x+3) \cdot \frac{x+1}{x+3} — (x-3)(x+3) \cdot \frac{12}{(x-3)(x+3)} = (x-3)(x+3) \cdot \frac{-(2x-1)}{x-3}$$

Сокращаем одинаковые множители:

$$(x+1)(x-3) — 12 = -(2x-1)(x+3)$$

Шаг 3: Раскрытие скобок

Раскроем скобки слева и справа:

$$(x+1)(x-3) = x^2 — 3x + x — 3 = x^2 — 2x — 3$$

Так что у нас получается:

$$x^2 — 2x — 3 — 12 = -(2x — 1)(x + 3)$$

Теперь раскрываем правую часть:

$$-(2x — 1)(x + 3) = -(2x^2 + 6x — x — 3) = -2x^2 — 5x + 3$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$x^2 — 2x — 15 = -2x^2 — 5x + 3$$

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону:

$$x^2 — 2x — 15 + 2x^2 + 5x — 3 = 0$$

Упростим:

$$(1x^2 + 2x^2) + (-2x + 5x) + (-15 — 3) = 0$$ $$3x^2 + 3x — 18 = 0$$

Шаг 5: Деление на 3

Чтобы упростить уравнение, разделим его на 3:

$$x^2 + x — 6 = 0$$

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение $x^2 + x — 6 = 0$ с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

$$D = 1^2 — 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — 5}{2(1)} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-1 + 5}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: $x = 2$.

Шаг 7: Проверка допустимости решений

Убедимся, что решения $x = -3$ и $x = 2$ допустимы. Учитывая, что выражения содержат знаменатели $x + 3$ и $x — 3$, исключаем $x = 3$ и $x = -3$ из допустимых решений.

Таким образом, $x = 2$ — это единственный корректный ответ.

Ответ: $x = 2$.