ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 133 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

1. у = -2х + 1;
2. у = 1/4х-7;
3. у = х3 — 1;
4. у = (х-1)3;
5. у = 2/x;
6. у= 3/(x-4)

Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной;

1. $y=-2x+1$

Для данной функции: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; +\infty)$

Для обратной функции: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; +\infty)$

2. $y=\frac{1}{4}x-7$

$$Для данной функции: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; +\infty)$

Для обратной функции: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; +\infty)$

3. $y=x^3-1$

$$Для данной функции: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; +\infty)$

Для обратной функции: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; +\infty)$

4. $y=(x-1{)}^3$

$$Для данной функции: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; +\infty)$

Для обратной функции: $D(x) = (-\infty; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; +\infty)$

5. $y=\frac{2}{x}$

$$Для данной функции: $D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

Для обратной функции: $D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ и  $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

6. $y=\frac{3}{x-4}$

$$Для данной функции: $D(x) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$ и $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

Для обратной функции: $D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ и  $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$

1) $y = -2x + 1$

Для данной функции $y = -2x + 1$, это линейная функция, которая определена для всех значений $x$, так как линейные функции не имеют ограничений.

Область определения функции $y=-2x+1$ (то есть возможные значения $x$):

$$$D(x) = (-\infty; +\infty)$ — для всех $x$.

Множество значений функции y (то есть возможные значения $y$):

$E(y) = (-\infty; +\infty)$ — линейная функция может принимать любые значения $y$.

Теперь, чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

$$y = -2x + 1$$

$$-2x = y — 1$$

$$x = \frac{y — 1}{-2} = \frac{1 — y}{2}$$

Таким образом, обратная функция будет $y = \frac{1 — x}{2}$.

Область определения обратной функции:

$D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$— так как у нас линейная функция, она также определена для всех значений $x$.

Множество значений обратной функции:

$E(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$— функция также может принимать все значения.

2) $y = \frac{1}{4}x — 7$

Это линейная функция, аналогичная первой, только с другим коэффициентом при $x$. Рассмотрим её свойства.

Область определения функции $y=\frac{1}{4}x-7$:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$ — функция определена для всех $x$.

Множество значений функции y:

$E(y) = (-\infty; +\infty)$ — функция может принимать все значения $y$.

Теперь находим обратную функцию:

$$y = \frac{1}{4}x — 7$$

$$\frac{1}{4}x = y + 7$$

$$x = 4(y + 7) = 4y + 28$$

Таким образом, обратная функция $y = 4x — 28$.

Область определения обратной функции:

$D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$— обратная функция тоже определена для всех $x$.

Множество значений обратной функции:

$E$$(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })\; —\; может\; принимать\; все\; значения.$

3) $y = x^3 — 1$

Это кубическая функция, которая также определена для всех $x$ и может принимать все значения $y$.

Область определения функции $y=x^3-1$:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$ — функция определена для всех значений $x$.

Множество значений функции y:

$E(y) = (-\infty; +\infty)$ — функция может принимать все значения.

Теперь находим обратную функцию:

$$y = x^3 — 1$$

$$x^3 = y + 1$$

$$x = \sqrt[3]{y + 1}$$

Таким образом, обратная функция $y = \sqrt[3]{x + 1}$.

Область определения обратной функции:

$D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$— кубическая функция и её обратная также определены для всех значений $x$.

Множество значений обратной функции:

$E(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$— она также может принимать все значения.

4) $y = (x — 1)^3$

Это тоже кубическая функция, но с небольшим смещением на 1 по оси $x$.

Область определения функции $y=(x-1{)}^3$:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$ — она определена для всех $x$.

Множество значений функции y:

$E(y) = (-\infty; +\infty)$ — может принимать все значения.

Теперь находим обратную функцию:

$$y = (x — 1)^3$$

$$x — 1 = \sqrt[3]{y}$$

$$x = 1 + \sqrt[3]{y}$$

Таким образом, обратная функция $y = 1 + \sqrt[3]{x}$.

Область определения обратной функции:

$D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$— функция определена для всех $x$.

Множество значений обратной функции:

$E(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$— она также может принимать все значения.

5) $y = \frac{2}{x}$

Это гиперболическая функция, которая не определена в точке $x = 0$, но может принимать все значения $y$, кроме 0.

Область определения функции $y=\frac{2}{x}$:

$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ — исключаем $x = 0$, так как в этой точке функция не определена.

Множество значений функции y:

$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ — функция также не может принимать значение $y = 0$.

Теперь находим обратную функцию:

$$y = \frac{2}{x}$$

$$x = \frac{2}{y}$$

Таким образом, обратная функция $y = \frac{2}{x}$.

Область определения обратной функции:

$D(x)=(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$— функция определена при $x \neq 0$.

Множество значений обратной функции:

$E(y)=(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$— так как функция может принимать все значения $y$, кроме 0.

6) $y = \frac{3}{x — 4}$

Это тоже гиперболическая функция, но с горизонтальным смещением на 4 по оси $x$. Функция не определена при$x = 4$, а её значения исключают 0.

Область определения функции $y=\frac{3}{x-4}$$y = \frac{3}{x — 4}$:

$D(x) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$ — исключаем $x = 4$.

Множество значений функции y:

$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ — функция не может быть равна 0.

Теперь находим обратную функцию:

$$y = \frac{3}{x — 4}$$

$$x — 4 = \frac{3}{y}$$

$$x = 4 + \frac{3}{y}$$

Таким образом, обратная функция $y = \frac{3}{x — 4}$.

Область определения обратной функции:

$D(x)=(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$— функция определена при $x \neq 0$.

Множество значений обратной функции:

$E(y)=(-\mathrm{\infty };4)\cup (4;+\mathrm{\infty })$— функция может принимать все значения $y$, кроме 4.

Ответ:

1. $D(x) = (-\infty; +\infty), E(y) = (-\infty; +\infty)$
2. $D(x) = (-\infty; +\infty), E(y) = (-\infty; +\infty)$
3. $D(x) = (-\infty; +\infty), E(y) = (-\infty; +\infty)$
4. $D(x) = (-\infty; +\infty), E(y) = (-\infty; +\infty)$
5. $D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty), E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$
6. $D(x) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty), E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$