ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1329 Алимов — Подробные Ответы

1. $\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1}=0\mathrm{}$
2. $\frac{3x^2}{3x+1}-2=\frac{2x+1}{3x+1}\mathrm{}$

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0 \quad | \cdot (x-1)(x+1)$;

$x(x-1) + x(x+1) = 0$;

$x^2 — x + x^2 + x = 0$;

$2x^2 = 0$, отсюда $x = 0$;

Ответ: $x = 0$.

2) $\frac{3x^2}{3x+1} — 2 = \frac{2x+1}{3x+1} \quad | \cdot (3x+1)$;

$3x^2 — 2(3x+1) = 2x + 1$;

$3x^2 — 6x — 2 = 2x + 1$;

$3x^2 — 8x — 3 = 0$;

$D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 + 36 = 100$, тогда:

$x_1 = \frac{8 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$;

$x_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$3x + 1 \neq 0$;

$3x \neq -1$, отсюда $x \neq -\frac{1}{3}$;

Ответ: $x = 3$.

Пример 1: $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0$

Исходное уравнение:

$$\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0$$

Приведение к общему знаменателю:

Чтобы решить уравнение, нужно привести обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $(x+1)$ и $(x-1)$ — это произведение этих выражений:

$$\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}$$

Теперь у нас общий знаменатель:

$$\frac{x(x-1) + x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 0$$

Упростим числитель:

В числителе получаем:

$$x(x-1) + x(x+1) = x^2 — x + x^2 + x = 2x^2$$

Уравнение теперь выглядит так:

$$\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)} = 0$$

Решаем уравнение:

Уравнение дроби равно нулю только тогда, когда числитель равен нулю (знаменатель не может быть равен нулю, потому что это приводит к делению на ноль, что недопустимо). Таким образом, нужно решить:

$$2x^2 = 0$$

Из этого следует:

$$x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

Проверка допустимости решения:

Мы должны убедиться, что решение $x = 0$ не приводит к делению на ноль в знаменателе. Проверим:

$$x + 1 = 0 + 1 = 1 \quad \text{и} \quad x — 1 = 0 — 1 = -1$$

Знаменатели не равны нулю, значит, решение $x = 0$ допустимо.

Ответ:

$$x = 0$$

Пример 2: $\frac{3x^2}{3x+1} — 2 = \frac{2x+1}{3x+1}$

Исходное уравнение:

$$\frac{3x^2}{3x+1} — 2 = \frac{2x+1}{3x+1}$$

Приведение к общему знаменателю:

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на $(3x+1)$, что является общим знаменателем. Однако нужно учитывать, что $(3x+1) \neq 0$, иначе будет деление на ноль. Умножаем обе стороны на $(3x+1)$:

$$(3x+1) \cdot \left(\frac{3x^2}{3x+1} — 2\right) = (3x+1) \cdot \frac{2x+1}{3x+1}$$

После упрощения:

$$3x^2 — 2(3x + 1) = 2x + 1$$

Упростим выражения:

Раскроем скобки:

$$3x^2 — 2(3x + 1) = 3x^2 — 6x — 2$$

Получаем:

$$3x^2 — 6x — 2 = 2x + 1$$

Переносим все элементы на одну сторону:

Переносим все элементы в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду квадратичного уравнения:

$$3x^2 — 6x — 2 — 2x — 1 = 0$$

Упрощаем:

$$3x^2 — 8x — 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A = 3$, $B = -8$, $C = -3$. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставим значения:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 — 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

Проверка допустимости решений:

Нужно убедиться, что решения $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = 3$ не делают знаменатель равным нулю. Проверим для каждого:

Для $x = -\frac{1}{3}$:

$$3x + 1 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$$

Таким образом, $x = -\frac{1}{3}$ исключается, так как знаменатель обращается в ноль.

Для $x = 3$:

$$3x + 1 = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \neq 0$$

Решение $x = 3$ допустимо.

Ответ:

$$x = 3$$

Итоговые ответы:

1. $x = 0$
2. $x = 3$