ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1320 Алимов — Подробные Ответы

Задача

4sinxsin(пи/3 -x)sin(пи/3 + x)=sin3x;
cos3xcos6xcos12x=sin24x/8sin3x.

Краткий ответ:

$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x$ ;

$4 \sin x \cdot \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} — x — \frac{\pi}{3} — x \right) — \cos \left( \frac{\pi}{3} — x + \frac{\pi}{3} + x \right) \right) = \sin 3x$ ;

$2 \sin x \cdot \left( \cos(-2x) — \cos \frac{2\pi}{3} \right) = \sin 3x$ ;

$2 \sin x \cdot \left( \cos 2x — \cos \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) \right) = \sin 3x$ ;

$\sin x \cdot \left( 2 \cos 2x + 2 \cos \frac{\pi}{3} \right) = \sin 3x$ ;

$\sin x \cdot (2 \cos 2x + 1) = \sin 3x$ ;

$\sin x \cdot (2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x) = \sin 3x$ ;

$\sin x \cdot (3 \cos^2 x — \sin^2 x) = \sin 3x$ ;

$\sin x \cdot (3 — 3 \sin^2 x — \sin^2 x) = \sin 3x$ ;

$\sin x \cdot (3 — 4 \sin^2 x) = \sin 3x$ ;

$3 \sin x — 4 \sin^3 x = \sin 3x$ ;

Тождество доказано.

$\cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}$ ;

Умножим обе части тождества на число $8 \sin 3x$ :

$8 \cdot \sin 3x \cdot \cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \sin 24x$ ;

$4 \cdot \sin 6x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \sin 24x$ ;

$2 \cdot \sin 12x \cdot \cos 12x = \sin 24x$ ;

$\sin 24x = \sin 24x$ ;

Тождество доказано.

Подробный ответ:

Задача 1: Доказательство тождества с использованием формулы синуса тройного угла

Тождество:

$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x$

Шаг 1: Используем формулу для произведения синусов

Для того чтобы упростить выражение, применим формулу для произведения синусов двух углов:

$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right)$

Применим её к произведению $\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$ :

$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} — x — \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \right) — \cos \left( \frac{\pi}{3} — x + \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \right) \right)$

Шаг 2: Упростим выражения внутри косинусов

Теперь упростим выражения в косинусах:

$\frac{\pi}{3} — x — \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = -2x$ $\frac{\pi}{3} — x + \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{2\pi}{3}$

Таким образом:

$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(-2x) — \cos \frac{2\pi}{3} \right)$

Шаг 3: Используем свойство косинуса

Теперь учитываем, что косинус — чётная функция, то есть $\cos(-2x) = \cos(2x)$ . Подставим это:

$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(2x) — \cos \frac{2\pi}{3} \right)$

Так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ , то:

$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(2x) + \frac{1}{2} \right)$

Шаг 4: Подставим в исходное выражение

Теперь подставим полученное выражение в исходное тождество:

$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = 4 \sin x \cdot \frac{1}{2} \left( \cos(2x) + \frac{1}{2} \right)$

Упростим:

$2 \sin x \cdot \left( \cos(2x) + \frac{1}{2} \right)$

Шаг 5: Раскроем скобки

Раскроем скобки и упростим:

$2 \sin x \cdot \cos(2x) + 2 \sin x \cdot \frac{1}{2}$ $2 \sin x \cdot \cos(2x) + \sin x$

Шаг 6: Используем формулу для $\cos(2x)$

Используем формулу для $\cos(2x)$ через синус и косинус:

$\cos(2x) = \cos^2 x — \sin^2 x$

Подставим это в выражение:

$2 \sin x \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin x$

Шаг 7: Вынесем $\sin x$ за скобки

Теперь вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x \cdot \left( 2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x + 1 \right)$

Шаг 8: Упрощаем выражение внутри скобок

Используем тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ , чтобы упростить выражение внутри скобок:

$2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x + 1 = 3 \cos^2 x — \sin^2 x$

Таким образом, выражение принимает вид:

$\sin x \cdot (3 \cos^2 x — \sin^2 x)$

Шаг 9: Подставим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$

Теперь подставим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ :

$\sin x \cdot (3(1 — \sin^2 x) — \sin^2 x)$

Упростим:

$\sin x \cdot (3 — 3 \sin^2 x — \sin^2 x) = \sin x \cdot (3 — 4 \sin^2 x)$

Шаг 10: Финальное упрощение

Получаем:

$3 \sin x — 4 \sin^3 x = \sin 3x$

Таким образом, тождество доказано.

Задача 2: Доказательство тождества

Тождество:

$\cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}$

Шаг 1: Умножим обе части на $8 \sin 3x$

Для удобства умножим обе части тождества на $8 \sin 3x$ :

$8 \cdot \sin 3x \cdot \cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \sin 24x$

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упростим выражение на левой части:

$8 \sin 3x \cdot \cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = 4 \sin 6x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x$

Заменим $\sin 6x \cdot \cos 6x$ на $\frac{1}{2} \sin 12x$ :

$4 \cdot \frac{1}{2} \sin 12x \cdot \cos 12x = \sin 24x$ $2 \sin 12x \cdot \cos 12x = \sin 24x$

Шаг 3: Используем тождество для синуса

Применим тождество для синуса:

$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$

Подставляем $A = 12x$ :

$\sin 24x = \sin 24x$

Тождество доказано.

Таким образом, оба тождества доказаны:

$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x$
$\cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы