ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1319 Алимов — Подробные Ответы

Задача

$\frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + \sin 2a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$
$\frac{1}{4 \sin^2 a \cdot \cos^2 a} = 1 + \frac{(1 — \operatorname{tg}^2 a)^2}{4 \operatorname{tg}^2 a};$
$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a};$
$\frac{1 — \sin 2a}{1 + \sin 2a} = \operatorname{ctg}^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right);$

Краткий ответ:

1)

$\frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + \sin 2a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$

Преобразуем левую часть тождества:

$\frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + \sin 2a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a — 2 \sin^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a} = \frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{(\cos a + \sin a)^2} =$ $= \frac{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)}{(\cos a + \sin a)^2} = \frac{\cos a — \sin a}{\cos a + \sin a} = \frac{\frac{\cos a}{\cos a} — \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\cos a} + \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a}.$

Тождество доказано.

2)

$\frac{1}{4 \sin^2 a \cdot \cos^2 a} = 1 + \frac{(1 — \operatorname{tg}^2 a)^2}{4 \operatorname{tg}^2 a};$

Преобразуем левую часть тождества:

$\frac{1}{4 \sin^2 a \cdot \cos^2 a} = \frac{1}{\sin^2 2a} = \frac{\cos^2 2a + \sin^2 2a}{\sin^2 2a} = \operatorname{ctg}^2 2a + 1;$

Преобразуем правую часть тождества:

$1 + \frac{(1 — \operatorname{tg}^2 a)^2}{4 \operatorname{tg}^2 a} = 1 + \left( \frac{1 — \operatorname{tg}^2 a}{2 \operatorname{tg} a} \right)^2 = 1 + \left( \frac{1}{\operatorname{tg} 2a} \right)^2 = 1 + \operatorname{ctg}^2 2a;$

Тождество доказано.

3)

$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a};$

Преобразуем левую часть тождества:

$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{4} + a \right)} = \frac{\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin a}{\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a} =$ $= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin a}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin a} = \frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a} = \frac{(\sin a + \cos a)^2}{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)} =$ $= \frac{\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a — \sin^2 a} = \frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a};$

Тождество доказано.

4)

$\frac{1 — \sin 2a}{1 + \sin 2a} = \operatorname{ctg}^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right);$

Преобразуем правую часть тождества:

$\operatorname{ctg}^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right)}{\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right)} = \frac{\left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a \right)^2}{\left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin a \right)^2} =$ $= \frac{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos a — \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin a \right)^2}{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos a + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin a \right)^2} = \frac{\frac{1}{2} (\cos a — \sin a)^2}{\frac{1}{2} (\cos a + \sin a)^2} =$ $= \frac{\cos^2 a + \sin^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a + \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a} = \frac{1 — \sin 2a}{1 + \sin 2a};$

Тождество доказано.

Подробный ответ:

1)

$\frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + \sin 2a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a}$

Преобразуем левую часть:

Начнем с преобразования левой части тождества:

$\frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + \sin 2a}$

Используем формулу для удвоенного угла: $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ . Подставим её в выражение:

$= \frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + 2 \sin a \cos a}$

Далее воспользуемся тождеством $\cos^2 a = 1 — \sin^2 a$ , чтобы заменить $1 — 2 \sin^2 a$ на $\cos 2a$ . Получим:

$\frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + \sin 2a} = \frac{\cos 2a}{(\cos a + \sin a)^2}$

Теперь упростим знаменатель. Заметим, что $(\cos a + \sin a)^2 = \cos^2 a + 2 \sin a \cos a + \sin^2 a$ , что даёт нам:

$= \frac{\cos 2a}{\cos^2 a + 2 \sin a \cos a + \sin^2 a}$

Теперь можно выразить это как:

$= \frac{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)}{(\cos a + \sin a)^2}$

Сокращаем $(\cos a + \sin a)$ в числителе и знаменателе:

$= \frac{\cos a — \sin a}{\cos a + \sin a}$

Теперь выражаем это через тангенс. Так как $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$ , получаем:

$= \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a}$

Тождество доказано.

2)

$\frac{1}{4 \sin^2 a \cdot \cos^2 a} = 1 + \frac{(1 — \operatorname{tg}^2 a)^2}{4 \operatorname{tg}^2 a}$

Преобразуем левую часть:

Начнем с преобразования левой части:

$\frac{1}{4 \sin^2 a \cdot \cos^2 a}$

Используем формулу для синуса двойного угла $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ , что даёт:

$= \frac{1}{\sin^2 2a}$

Теперь раскроем числитель:

$= \frac{\cos^2 2a + \sin^2 2a}{\sin^2 2a} = \operatorname{ctg}^2 2a + 1$

Преобразуем правую часть:

Теперь преобразуем правую часть:

$1 + \frac{(1 — \operatorname{tg}^2 a)^2}{4 \operatorname{tg}^2 a}$

Применим формулу для тангенса двойного угла $\operatorname{tg} 2a = \frac{2 \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg}^2 a}$ . Выразим это через тангенс:

$= 1 + \left( \frac{1 — \operatorname{tg}^2 a}{2 \operatorname{tg} a} \right)^2$

Упростим это выражение:

$= 1 + \left( \frac{1}{\operatorname{tg} 2a} \right)^2 = 1 + \operatorname{ctg}^2 2a$

Тождество доказано.

3)

$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a}$

Преобразуем левую часть:

Используем формулу для тангенса суммы углов:

$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} a}$

Так как $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$ , получаем:

$= \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a}$

Преобразуем правую часть:

Теперь преобразуем правую часть:

$\frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a}$

Используем тождество для синуса и косинуса двойного угла $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ и $\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$ . Подставляем в правую часть:

$= \frac{1 + 2 \sin a \cos a}{\cos^2 a — \sin^2 a}$

Теперь выражаем это через тангенс, зная, что $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$ , получаем:

$= \frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a}$

Тождество доказано.

4)

$\frac{1 — \sin 2a}{1 + \sin 2a} = \operatorname{ctg}^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right)$

Преобразуем правую часть:

Применим формулу для котангенса квадрат:

$\operatorname{ctg}^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right)}{\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right)}$

Используем формулы для синуса и косинуса суммы углов:

$= \frac{\left( \cos \frac{\pi}{4} \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \sin a \right)^2}{\left( \sin \frac{\pi}{4} \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \sin a \right)^2}$

Подставляем $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ :

$= \frac{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos a — \frac{1}{\sqrt{2}} \sin a \right)^2}{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos a + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin a \right)^2}$

Упростим:

$= \frac{\frac{1}{2} (\cos a — \sin a)^2}{\frac{1}{2} (\cos a + \sin a)^2} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a + \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a}$

Преобразуем:

$= \frac{1 — \sin 2a}{1 + \sin 2a}$

Тождество доказано.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы