ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1318 Алимов — Подробные Ответы

1+cosa+cos2a=4cosacos(пи/6+a/2)cos(пи/6-a/2).

Доказать тождество:

$$1 + \cos a + \cos 2a = 4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right);$$

Преобразуем правую часть тождества:

$$4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) =$$ $$= 4 \cos a \cdot \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} + \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} — \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \right) =$$ $$= 2 \cos a \cdot \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos a \right) = 2 \cos a \cdot \left( \frac{1}{2} + \cos a \right) =$$ $$= 2 \cos a \cdot \frac{1}{2} + 2 \cos^2 a = 2 \cos^2 a + \cos a =$$ $$= 2 \cdot \frac{1 + \cos 2a}{2} + \cos a = 1 + \cos a + \cos 2a;$$

Тождество доказано.

Рассмотрим тождество:

$$1 + \cos a + \cos 2a = 4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right)$$

Нам нужно доказать, что левая и правая части этого равенства идентичны. Для этого подробно преобразуем правую часть тождества, используя известные тригонометрические формулы.

Шаг 1: Преобразование правой части

Правую часть выражения можно упростить с помощью формулы для произведения косинусов:

$$\cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2} \left( \cos(x — y) + \cos(x + y) \right)$$

Применим эту формулу к произведению двух косинусов:

$$\cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right)$$

Заменим $x = \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2}$ и $y = \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2}$ в формуле:

$$\cos (\frac{\pi }{6}+\frac{a}{2})\cdot \cos (\frac{\pi }{6}-\frac{a}{2})=\frac{1}{2}(\cos ((\frac{\pi }{6}+\frac{a}{2})-(\frac{\pi }{6}-\frac{a}{2}))+$$

$$\cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) — \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) \right) + \cos \left( \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) \right) \right)$$

Рассмотрим выражения в скобках:

1. $\frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} — \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} — \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} = a$
2. $\frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} + \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} = \frac{\pi}{3}$

Таким образом, правую часть можно записать как:

$$\cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos a + \cos \frac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 2: Умножение на $4 \cos a$

Теперь подставим полученное выражение в исходную правую часть тождества:

$$4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) = 4 \cos a \cdot \frac{1}{2} \left( \cos a + \cos \frac{\pi}{3} \right)$$

Упростим множители:

$$= 2 \cos a \left( \cos a + \cos \frac{\pi}{3} \right)$$

Поскольку $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем:

$$= 2 \cos a \left( \cos a + \frac{1}{2} \right)$$

Теперь раскроем скобки:

$$= 2 \cos a \cdot \cos a + 2 \cos a \cdot \frac{1}{2} = 2 \cos^2 a + \cos a$$

Шаг 3: Преобразование полученного выражения

Далее, заметим, что:

$$2 \cos^2 a + \cos a = 2 \cdot \frac{1 + \cos 2a}{2} + \cos a$$

Используем формулу $\cos 2a = 2 \cos^2 a — 1$, что позволяет выразить $2 \cos^2 a$ через $\cos 2a$:

$$2 \cos^2 a = 1 + \cos 2a$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$1 + \cos 2a + \cos a$$

Шаг 4: Сравнение с левой частью

Теперь, сравнив это выражение с левой частью тождества, мы видим, что получаем точно то же самое:

$$1 + \cos a + \cos 2a$$

Заключение

Таким образом, мы доказали, что:

$$1 + \cos a + \cos 2a = 4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right)$$

Тождество доказано.