ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1318 Алимов — Подробные Ответы

Задача

1+cosa+cos2a=4cosacos(пи/6+a/2)cos(пи/6-a/2).

Краткий ответ:

Доказать тождество:

$1 + \cos a + \cos 2a = 4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right);$

Преобразуем правую часть тождества:

$4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) =$ $= 4 \cos a \cdot \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} + \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} — \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \right) =$ $= 2 \cos a \cdot \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos a \right) = 2 \cos a \cdot \left( \frac{1}{2} + \cos a \right) =$ $= 2 \cos a \cdot \frac{1}{2} + 2 \cos^2 a = 2 \cos^2 a + \cos a =$ $= 2 \cdot \frac{1 + \cos 2a}{2} + \cos a = 1 + \cos a + \cos 2a;$

Тождество доказано.

Подробный ответ:

Рассмотрим тождество:

$1 + \cos a + \cos 2a = 4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right)$

Нам нужно доказать, что левая и правая части этого равенства идентичны. Для этого подробно преобразуем правую часть тождества, используя известные тригонометрические формулы.

Шаг 1: Преобразование правой части

Правую часть выражения можно упростить с помощью формулы для произведения косинусов:

$\cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2} \left( \cos(x — y) + \cos(x + y) \right)$

Применим эту формулу к произведению двух косинусов:

$\cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right)$

Заменим $x = \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2}$ и $y = \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2}$ в формуле:

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{a}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{6} - \frac{a}{2}) = \frac{1}{2} (\cos ((\frac{π}{6} + \frac{a}{2}) - (\frac{π}{6} - \frac{a}{2})) +$

$\cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) — \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) \right) + \cos \left( \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) \right) \right)$

Рассмотрим выражения в скобках:

$\frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} — \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} — \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} = a$
$\frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} + \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} = \frac{\pi}{3}$

Таким образом, правую часть можно записать как:

$\cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos a + \cos \frac{\pi}{3} \right)$

Шаг 2: Умножение на $4 \cos a$

Теперь подставим полученное выражение в исходную правую часть тождества:

$4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right) = 4 \cos a \cdot \frac{1}{2} \left( \cos a + \cos \frac{\pi}{3} \right)$

Упростим множители:

$= 2 \cos a \left( \cos a + \cos \frac{\pi}{3} \right)$

Поскольку $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ , получаем:

$= 2 \cos a \left( \cos a + \frac{1}{2} \right)$

Теперь раскроем скобки:

$= 2 \cos a \cdot \cos a + 2 \cos a \cdot \frac{1}{2} = 2 \cos^2 a + \cos a$

Шаг 3: Преобразование полученного выражения

Далее, заметим, что:

$2 \cos^2 a + \cos a = 2 \cdot \frac{1 + \cos 2a}{2} + \cos a$

Используем формулу $\cos 2a = 2 \cos^2 a — 1$ , что позволяет выразить $2 \cos^2 a$ через $\cos 2a$ :

$2 \cos^2 a = 1 + \cos 2a$

Таким образом, выражение принимает вид:

$1 + \cos 2a + \cos a$

Шаг 4: Сравнение с левой частью

Теперь, сравнив это выражение с левой частью тождества, мы видим, что получаем точно то же самое:

$1 + \cos a + \cos 2a$

Заключение

Таким образом, мы доказали, что:

$1 + \cos a + \cos 2a = 4 \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{a}{2} \right)$

Тождество доказано.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы