ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1315 Алимов — Подробные Ответы

1. $\frac{2}{\tg \frac{a}{2} + \ctg \frac{a}{2}} = \sin a$;
2. $\frac{\ctg a — \tg a}{\ctg a + \tg a} = \cos 2a$

1) $\frac{2}{\tg \frac{a}{2} + \ctg \frac{a}{2}} = \sin a$;

Преобразуем левую часть тождества:

$$\frac{2}{\tg \frac{a}{2} + \ctg \frac{a}{2}} = \frac{2}{\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} + \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}}} = 2 : \frac{\sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2} \cdot \sin \frac{a}{2}} = \frac{2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}}{\sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2}} =$$ $$= \frac{\sin a}{1} = \sin a;$$

Тождество доказано.

2) $\frac{\ctg a — \tg a}{\ctg a + \tg a} = \cos 2a$;

Преобразуем левую часть тождества:

$$\frac{\ctg a — \tg a}{\ctg a + \tg a} = \frac{\frac{\cos a}{\sin a} — \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\sin a \cdot \cos a}}{\frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\sin a \cdot \cos a}} = \frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a} =$$ $$= \frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{1} = \cos 2a;$$

Ответ: тождество доказано.

1) $\frac{2}{\tg \frac{a}{2} + \ctg \frac{a}{2}} = \sin a$

Шаг 1: Разложим тангенс и котангенс

Для того, чтобы решить это тождество, начнем с того, что представим $\tg \frac{a}{2}$ и $\ctg \frac{a}{2}$ через синус и косинус. Напоминаю, что:

$$\tg \frac{a}{2} = \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}, \quad \ctg \frac{a}{2} = \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}}.$$

Теперь подставим эти выражения в левую часть тождества:

$$\frac{2}{\tg \frac{a}{2} + \ctg \frac{a}{2}} = \frac{2}{\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} + \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}}}.$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Складываем дроби в знаменателе. Для этого нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это $\sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}$, поэтому:

$$\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} + \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}} + \frac{\cos^2 \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}}.$$

Шаг 3: Используем тригонометрическую тождество

Теперь мы знаем, что $\sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} = 1\ (по\ тождеству\ Пифагора)$, и можем упростить выражение:

$$\frac{\sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}} = \frac{1}{\sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}}.$$

Теперь наша левая часть выглядит так:

$$\frac{2}{\frac{1}{\sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}}} = 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}.$$

Шаг 4: Используем известное тригонометрическое тождество

Здесь мы можем воспользоваться известным тождеством для синуса удвоенного угла:

$$\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}.$$

Таким образом, левая часть упростится до $\sin a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) $\frac{\ctg a — \tg a}{\ctg a + \tg a} = \cos 2a$

Шаг 1: Разложим котангенс и тангенс

Как и в предыдущем примере, разложим $\ctg a$ и $\tg a$ через синус и косинус:

$$\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a}, \quad \tg a = \frac{\sin a}{\cos a}.$$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$$\frac{\ctg a — \tg a}{\ctg a + \tg a} = \frac{\frac{\cos a}{\sin a} — \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a}}.$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

В числителе и знаменателе нужно привести дроби к общему знаменателю. Для числителя общий знаменатель будет $\sin a \cdot \cos a$, а для знаменателя — тот же самый. Сделаем это:

Числитель:

$$\frac{\cos a}{\sin a} — \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\sin a \cdot \cos a}.$$

Знаменатель:

$$\frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\sin a \cdot \cos a}.$$

Теперь наша левая часть выглядит так:

$$\frac{\frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\sin a \cdot \cos a}}{\frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\sin a \cdot \cos a}}.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Так как $\sin a \cdot \cos a$ — это одинаковый множитель в числителе и знаменателе, его можно сократить. Получим:

$$\frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a}.$$

Шаг 4: Используем тождество

Теперь, используя тождество $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$, мы получаем:

$$\frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{1} = \cos^2 a — \sin^2 a.$$

Это выражение является известным тождеством для $\cos 2a$:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a.$$

Ответ: Тождество доказано.