ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1312 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество (1312—1320)

$$\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta}=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)};$$

Доказать тождество:

$$\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta}=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)};$$

Преобразуем левую часть тождества:

$$\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta = \left(\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}+\operatorname{tg}\beta\right):\left(\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}-\operatorname{tg}\beta\right) =$$ $$= \frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} \cdot \frac{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta} =$$ $$= \frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} \cdot \frac{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta} = \frac{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} =$$ $$= \left(1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right):\left(1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right) =$$ $$= \frac{\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta} \cdot \frac{\cos\alpha \cdot \cos\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)},$$

Тождество доказано.

Тождество, которое нужно доказать, выглядит так:

$$\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta} = \frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}$$

1. Применение формул тангенса разности и суммы углов

Для начала, воспользуемся формулами для тангенса разности и суммы углов:

• $\operatorname{tg}(\alpha — \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}$
• $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}$

Сейчас мы перепишем обе части тождества с учетом этих формул.

2. Преобразование левой части

Левая часть тождества:

$$\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta}$$

Подставляем в неё выражения для $\operatorname{tg}(\alpha — \beta)$ и $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$:

$$\frac{\frac{\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} + \operatorname{tg}\beta}{\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} — \operatorname{tg}\beta}$$

3. Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:

$$\frac{\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} + \operatorname{tg}\beta$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\beta(1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta)}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$= \frac{\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$$

Теперь видим, что $— \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\beta$ взаимно уничтожается:

$$= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$$

Знаменатель:

$$\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} — \operatorname{tg}\beta$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta — \operatorname{tg}\beta(1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta)}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta — \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$$

Теперь видим, что $\operatorname{tg}\beta — \operatorname{tg}\beta$ взаимно уничтожается:

$$= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$$

4. Итоговое выражение

Теперь наша левая часть тождества выглядит так:

$$\frac{\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}}{\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}}$$

Сокращаем одинаковые числители:

$$= \frac{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$$

5. Переход к косинусам

Теперь давайте преобразуем это выражение с использованием формул для тангенса:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

Подставляем их в выражение:

$$\frac{1 — \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$$

Упрощаем числитель и знаменатель:

$$= \frac{1 — \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}{1 + \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}$$

Приводим к общему знаменателю в числителе и знаменателе:

$$= \frac{\frac{\cos\alpha \cos\beta — \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}{\frac{\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}$$

Сокращаем общий знаменатель $\cos\alpha \cos\beta$:

$$= \frac{\cos\alpha \cos\beta — \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta}$$

Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе — это формулы для $\cos(\alpha + \beta)$ и $\cos(\alpha — \beta)$ соответственно:

$$= \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha — \beta)}$$

6. Заключение

Мы пришли к правой части тождества:

$$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha — \beta)}$$

Таким образом, тождество доказано.