ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1312 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Доказать тождество (1312—1320)

$\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta}=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)};$

Краткий ответ:

Доказать тождество:

$\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta}=\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)};$

Преобразуем левую часть тождества:

$\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta = \left(\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}+\operatorname{tg}\beta\right):\left(\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}-\operatorname{tg}\beta\right) =$ $= \frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} \cdot \frac{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta} =$ $= \frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} \cdot \frac{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta} = \frac{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} =$ $= \left(1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right):\left(1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right) =$ $= \frac{\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta} \cdot \frac{\cos\alpha \cdot \cos\beta}{\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)},$

Тождество доказано.

Подробный ответ:

Тождество, которое нужно доказать, выглядит так:

$\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta} = \frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}$

1. Применение формул тангенса разности и суммы углов

Для начала, воспользуемся формулами для тангенса разности и суммы углов:

$\operatorname{tg}(\alpha — \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}$
$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}$

Сейчас мы перепишем обе части тождества с учетом этих формул.

2. Преобразование левой части

Левая часть тождества:

$\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta}$

Подставляем в неё выражения для $\operatorname{tg}(\alpha — \beta)$ и $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$ :

$\frac{\frac{\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} + \operatorname{tg}\beta}{\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} — \operatorname{tg}\beta}$

3. Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:

$\frac{\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} + \operatorname{tg}\beta$

Приводим к общему знаменателю:

$= \frac{\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\beta(1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta)}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$

Раскроем скобки в числителе:

$= \frac{\operatorname{tg}\alpha — \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$

Теперь видим, что $— \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\beta$ взаимно уничтожается:

$= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$

Знаменатель:

$\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} — \operatorname{tg}\beta$

Приводим к общему знаменателю:

$= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta — \operatorname{tg}\beta(1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta)}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$

Раскроем скобки в числителе:

$= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta — \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$

Теперь видим, что $\operatorname{tg}\beta — \operatorname{tg}\beta$ взаимно уничтожается:

$= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$

4. Итоговое выражение

Теперь наша левая часть тождества выглядит так:

$\frac{\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}}{\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\beta}{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}}$

Сокращаем одинаковые числители:

$= \frac{1 — \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$

5. Переход к косинусам

Теперь давайте преобразуем это выражение с использованием формул для тангенса:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$

Подставляем их в выражение:

$\frac{1 — \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$

Упрощаем числитель и знаменатель:

$= \frac{1 — \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}{1 + \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}$

Приводим к общему знаменателю в числителе и знаменателе:

$= \frac{\frac{\cos\alpha \cos\beta — \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}{\frac{\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}}$

Сокращаем общий знаменатель $\cos\alpha \cos\beta$ :

$= \frac{\cos\alpha \cos\beta — \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta}$

Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе — это формулы для $\cos(\alpha + \beta)$ и $\cos(\alpha — \beta)$ соответственно:

$= \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha — \beta)}$

6. Заключение

Мы пришли к правой части тождества:

$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha — \beta)}$

Таким образом, тождество доказано.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы