ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1311 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение и найти его числовое значение при данном значении а: ${\displaystyle \frac{2-3{\sin }^{2}a}{\cos 2a}}-{\displaystyle \frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}}$, $a=-{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$.

Вычислить ${\displaystyle \frac{2-3{\sin }^{2}a}{\cos 2a}}-{\displaystyle \frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}}$, если $a=-{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$.

Преобразуем выражение:

$$\frac{2-3{\sin }^{2}a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}=$$$$=\frac{2({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)-3{\sin }^{2}a}{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}-\frac{(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{(\sin a+\cos a)(\sin a+\cos a)}=$$$$=\frac{2{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a-\sin a\cdot \cos a+{\sin }^{2}a-2{\cos }^{2}a+2\sin a\cdot \cos a}{\cos 2a}=$$$$=\frac{\sin a\cdot \cos a}{\cos 2a}=\frac{\frac{1}{2}\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{1}{2}\mathrm{tg}2a;$$

Подставим известное значение:

$$\frac{1}{2}\mathrm{tg}2a=\frac{1}{2}\mathrm{tg}(-\frac{2\pi }{8})=\frac{1}{2}\cdot (-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}\cdot (-1)=-\frac{1}{2};$$

Ответ: $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Вычислить:

$$\frac{2-3{\sin }^{2}a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}$$

при $a=-{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$.

Шаг 1: Разделение выражения

Исходное выражение состоит из двух дробей:

$$\frac{2-3{\sin }^{2}a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}$$

Разделим на два отдельных выражения:

$$E_1=\frac{2-3{\sin }^{2}a}{\cos 2a},E_2=\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}$$

Шаг 2: Упрощение первого выражения $E_1$

Начнем с первого выражения:

$$E_1=\frac{2-3{\sin }^{2}a}{\cos 2a}$$

Используем тождество $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$. Таким образом, выражение для $E_1$ примет вид:

$$E_1=\frac{2-3{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}$$

Для удобства преобразуем числитель, разлагая его через ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$:

$$2-3{\sin }^{2}a=2({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)-3{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a+2{\sin }^{2}a-3{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$$

Таким образом, получаем:

$$E_1=\frac{2{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}$$

Шаг 3: Упрощение второго выражения $E_2$

Теперь перейдем ко второму выражению:

$$E_2=\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}$$

Для упрощения числителя и знаменателя умножим и числитель, и знаменатель на $\cos a-\sin a$, получаем:

$$E_2=\frac{(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{(\sin a+\cos a)(\cos a-\sin a)}$$

Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, чтобы упростить знаменатель:

$$(\sin a+\cos a)(\cos a-\sin a)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$$

Теперь числитель:

$$(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)=\sin a\cdot \cos a-{\sin }^{2}a+2{\cos }^{2}a-2\sin a\cdot \cos a=$$

$$=-{\sin }^{2}a+2{\cos }^{2}a-\sin a\cdot \cos a$$

Таким образом, получаем:

$$E_2=\frac{-{\sin }^{2}a+2{\cos }^{2}a-\sin a\cdot \cos a}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}$$

Шаг 4: Объединение выражений

Теперь объединим оба выражения $E_1$ и $E_2$:

$$E_1-E_2=\frac{2{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}-\frac{-{\sin }^{2}a+2{\cos }^{2}a-\sin a\cdot \cos a}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}$$

Вынесем общий знаменатель ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$:

$$E_1-E_2=\frac{(2{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)-(-{\sin }^{2}a+2{\cos }^{2}a-\sin a\cdot \cos a)}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}$$

Упростим числитель:

$$(2{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)-(-{\sin }^{2}a+2{\cos }^{2}a-\sin a\cdot \cos a)=$$

$$=2{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a+{\sin }^{2}a-2{\cos }^{2}a+\sin a\cdot \cos a$$

Сокращаем одинаковые термины:

$$=\sin a\cdot \cos a$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$E_1-E_2=\frac{\sin a\cdot \cos a}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}$$

Шаг 5: Использование формулы для тангенса

Теперь заметим, что $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$, и выражение примет вид:

$$E_1-E_2=\frac{\sin a\cdot \cos a}{\cos 2a}$$

Используем идентичность для $\sin 2a=2\sin a\cdot \cos a$, получаем:

$$E_1-E_2=\frac{\frac{1}{2}\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{1}{2}\cdot \tan 2a$$

Шаг 6: Подстановка значения для $a=-{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$

Теперь подставим $a=-{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ в выражение $\frac{1}{2}\cdot \tan 2a$:

$$2a=2\cdot (-\frac{\pi }{8})=-\frac{\pi }{4}$$$$\tan (-\frac{\pi }{4})=-1$$

Таким образом, получаем:

$$E_1-E_2=\frac{1}{2}\cdot (-1)=-\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$-\frac{1}{2}$$