ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 131 Алимов — Подробные Ответы

(Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:

1. у = 3х- 1;
2. у = x2 + 7;
3. у = 1/x;
4. y = корень x
5. у = х4;
6. у = х4, х < 0.

Выяснить, является ли обратимой функция:

1) $y = 3x — 1$

Функция задает прямую, значит она монотонна;

Ответ: обратимая.

2) $y = x^2 + 8$

Функция задает параболу, значит она не монотонна;

Ответ: не обратимая.

3) $y = \frac{1}{x}$

Функция задает гиперболу, значит она монотонна;

Ответ: обратимая.

4) $y = \sqrt{x}$

Функция задает ветвь параболы, значит она монотонна;

Ответ: обратимая.

5) $y = x^4$

Функция задает параболу, значит она не монотонна;

Ответ: не обратимая.

6) $y = x^4$ при $x < 0$

Функция задает ветвь параболы, значит она монотонна;

Ответ: обратимая.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{1) обратимая; }\text{2) не обратимая; }\text{3) обратимая; }}}$$

$$\boxed{ \text{1) обратимая; } \quad \text{2) не обратимая; } \quad \text{3) обратимая; } \quad \text{4) обратимая; } \quad \text{5) не обратимая; } \quad \text{6) обратимая.} }$$

Выяснить, является ли обратимой функция:

1) $y = 3x — 1$

Функция $y = 3x — 1$ — это линейная функция, представляющая собой прямую. Для определения, является ли функция обратимой, следует проверить, является ли она инъективной (каждому значению $x$ соответствует уникальное значение $y$).

• Прямая $y=3x-1$ имеет постоянный коэффициент при $x$ (в данном случае 3), что означает, что её график монотонен, то есть функция всегда возрастает или всегда убывает. В данном случае она возрастает, так как коэффициент перед $x$ положительный.
• Монотонность функции гарантирует, что она инъективна: для любого значения y существует только одно значение $x$, которое его соответствует.
• Так как функция инъективна и её область значений y совпадает с множеством всех действительных чисел, она обратима.

Ответ: обратимая.

2) $y = x^2 + 8$

Функция $y = x^2 + 8$ — это парабола, которая открывается вверх, с вершиной в точке $(0, 8)$.

• Парабола не является монотонной: она убывает на интервале $(-\mathrm{\infty };0)$ и возрастает на интервале $(0;+\mathrm{\infty }).$$(0; +\infty)$
• Для функции, не являющейся монотонной, трудно однозначно сопоставить каждому значению y единственное значение $x$. Например, $y = 9$ соответствует как $x = 1$, так и $x = -1$. Это означает, что функция не инъективна.
• Поскольку функция не инъективна, она не имеет обратной функции.

Ответ: не обратимая.

3) $y = \frac{1}{x}$

Функция $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола.

• Эта функция определена для всех x, кроме $x = 0$. Она монотонна на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, поскольку её производная на этих интервалах не меняет знака (она всегда отрицательная на $(-\infty; 0)$ и всегда положительная на $(0; +\infty)$).
• Монотонность функции гарантирует, что для каждого значения y существует только одно значение $x$, которое ему соответствует. Следовательно, функция инъективна.
• Поскольку функция инъективна и область значений y также совпадает с множеством всех действительных чисел, функция обратима.

Ответ: обратимая.

4) $y = \sqrt{x}$

Функция $y = \sqrt{x}$— это ветвь параболы, которая определена только для $x \geq 0$.

• Эта функция монотонна на интервале $[0,+\mathrm{\infty })$, так как она возрастает, и для каждого значения $y$ существует только одно значение $x$, которое ему соответствует.
• Монотонность функции и её область определения $x\ge 0$ гарантируют, что она инъективна.
• Поскольку функция инъективна и область значений y совпадает с множеством $y \geq 0$, она обратима.

Ответ: обратимая.

5) $y = x^4$

Функция $y = x^4$ — это парабола, которая открывается вверх, и её график симметричен относительно оси $y$.

• Парабола не является монотонной: она убывает на интервале $(-\mathrm{\infty };0)$ и возрастает на интервале $(0;+\mathrm{\infty }).$$$$$
• Например, 𝑦 = 16 соответствует как $x = 2$, так и $x = -2$. Это свидетельствует о том, что для одного значения $y$ может быть несколько значений $x$, значит, функция не инъективна.
• Поскольку функция не инъективна, она не обратима.

Ответ: не обратимая.

6) $y = x^4$ при $x < 0$

Функция $y = x^4$ при $x < 0$ — это ветвь параболы, которая определена только на интервале $(-\infty; 0)$.

• На этом интервале функция монотонна, так как она убывает. Для каждого значения y существует только одно значение $x$, которое ему соответствует.
• Монотонность функции на интервале $(-\mathrm{\infty };0)$ гарантирует её инъективность.
• Поскольку функция инъективна, она обратима.

Ответ: обратимая.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{1) обратимая; }\text{2) не обратимая; }\text{3) обратимая; }}}$$

$$\boxed{ \text{1) обратимая; } \quad \text{2) не обратимая; } \quad \text{3) обратимая; } \quad \text{4) обратимая; } \quad \text{5) не обратимая; } \quad \text{6) обратимая.} }$$