ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 131 Алимов — Подробные Ответы

1. у = 3х- 1;
2. у = x2 + 7;
3. у = 1/x;
4. y = корень x
5. у = х4;
6. у = х4, х < 0.

Выяснить, является ли обратимой функция:

1)

$y = 3x — 1$

Функция задает прямую, значит она монотонна;

Ответ: обратимая.

2)

$y = x^2 + 8$

Функция задает параболу, значит она не монотонна;

Ответ: не обратимая.

3)

$y = \frac{1}{x}$

Функция задает гиперболу, значит она монотонна;

Ответ: обратимая.

4)

$y = \sqrt{x}$

Функция задает ветвь параболы, значит она монотонна;

Ответ: обратимая.

5)

$y = x^4$

Функция задает параболу, значит она не монотонна;

Ответ: не обратимая.

6)

$y = x^4$

при

$x < 0$

Функция задает ветвь параболы, значит она монотонна;

Ответ: обратимая.

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) обратимая; } \quad \text{2) не обратимая; } \quad \text{3) обратимая; } \quad \text{4) обратимая; } \quad \text{5) не обратимая; } \quad \text{6) обратимая.} }$$

Выяснить, является ли обратимой функция:

1)

$y = 3x — 1$

Функция

$y = 3x — 1$

— это линейная функция, представляющая собой прямую. Для определения, является ли функция обратимой, следует проверить, является ли она инъективной (каждому значению

$x$

соответствует уникальное значение

$y$

).

• Прямая
  $y = 3x — 1$ 

  имеет постоянный коэффициент при $x$ 

  (в данном случае 3), что означает, что её график монотонен, то есть функция всегда возрастает или всегда убывает. В данном случае она возрастает, так как коэффициент перед $x$ 

  положительный.

• Монотонность функции гарантирует, что она инъективна: для любого значения
  $y$ 

  существует только одно значение $x$ 

  , которое его соответствует.

• Так как функция инъективна и её область значений
  $y$ 

  совпадает с множеством всех действительных чисел, она обратима.

Ответ: обратимая.

2)

$y = x^2 + 8$

Функция

$y = x^2 + 8$

— это парабола, которая открывается вверх, с вершиной в точке

$(0, 8)$

.

• Парабола не является монотонной: она убывает на интервале
  $(-\infty; 0)$ 

  и возрастает на интервале $(0; +\infty)$ 

  .

• Для функции, не являющейся монотонной, трудно однозначно сопоставить каждому значению
  $y$ 

  единственное значение $x$ 

  . Например, $y = 9$ 

  соответствует как $x = 1$ 

  , так и $x = -1$ 

  . Это означает, что функция не инъективна.

• Поскольку функция не инъективна, она не имеет обратной функции.

Ответ: не обратимая.

3)

$y = \frac{1}{x}$

Функция

$y = \frac{1}{x}$

— это гипербола.

• Эта функция определена для всех
  $x$ 

  , кроме $x = 0$ 

  . Она монотонна на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ 

  и $(0; +\infty)$ 

  , поскольку её производная на этих интервалах не меняет знака (она всегда отрицательная на $(-\infty; 0)$ 

  и всегда положительная на $(0; +\infty)$ 

  ).

• Монотонность функции гарантирует, что для каждого значения
  $y$ 

  существует только одно значение $x$ 

  , которое ему соответствует. Следовательно, функция инъективна.

• Поскольку функция инъективна и область значений
  $y$ 

  также совпадает с множеством всех действительных чисел, функция обратима.

Ответ: обратимая.

4)

$y = \sqrt{x}$

Функция

$y = \sqrt{x}$

— это ветвь параболы, которая определена только для

$x \geq 0$

.

• Эта функция монотонна на интервале
  $[0, +\infty)$ 

  , так как она возрастает, и для каждого значения $y$ 

  существует только одно значение $x$ 

  , которое ему соответствует.

• Монотонность функции и её область определения
  $x \geq 0$ 

  гарантируют, что она инъективна.

• Поскольку функция инъективна и область значений
  $y$ 

  совпадает с множеством $y \geq 0$ 

  , она обратима.

Ответ: обратимая.

5)

$y = x^4$

Функция

$y = x^4$

— это парабола, которая открывается вверх, и её график симметричен относительно оси

$y$

.

• Парабола не является монотонной: она убывает на интервале
  $(-\infty; 0)$ 

  и возрастает на интервале $(0; +\infty)$ 

  .

• Например,
  $y = 16$ 

  соответствует как $x = 2$ 

  , так и $x = -2$ 

  . Это свидетельствует о том, что для одного значения $y$ 

  может быть несколько значений $x$ 

  , значит, функция не инъективна.

• Поскольку функция не инъективна, она не обратима.

Ответ: не обратимая.

6)

$y = x^4$

при

$x < 0$

Функция

$y = x^4$

при

$x < 0$

— это ветвь параболы, которая определена только на интервале

$(-\infty; 0)$

.

• На этом интервале функция монотонна, так как она убывает. Для каждого значения
  $y$ 

  существует только одно значение $x$ 

  , которое ему соответствует.

• Монотонность функции на интервале
  $(-\infty; 0)$ 

  гарантирует её инъективность.

• Поскольку функция инъективна, она обратима.

Ответ: обратимая.

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) обратимая; } \quad \text{2) не обратимая; } \quad \text{3) обратимая; } \quad \text{4) обратимая; } \quad \text{5) не обратимая; } \quad \text{6) обратимая.} }$$