ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1307 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{\cos 4a-\cos 2a}{\sin 3a\cdot \sin a}$$
2. $$\frac{1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a}{\cos a+2{\cos }^{2}a-1}$$

1)

$$\frac{\cos 4a — \cos 2a}{\sin 3a \cdot \sin a} = \frac{\cos 4a — \cos 2a}{\frac{1}{2} \left( \cos \frac{3a-a}{2} — \cos \frac{3a+a}{2} \right)} = \frac{2 \cdot (\cos 4a — \cos 2a)}{\cos 2a — \cos 4a} =$$ $$= -2 \cdot \frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a — \cos 4a} = -2;$$

Ответ: $-2$.

2)

$$\frac{1 + \cos a + \cos 2a + \cos 3a}{\cos a + 2 \cos^2 a — 1} = \frac{1 + \cos 2a + 2 \cdot \cos \frac{3a+a}{2} \cdot \cos \frac{3a-a}{2}}{\cos a + (1 + \cos 2a) — 1} =$$ $$= \frac{2 \cos^2 a + 2 \cos 2a \cdot \cos a}{\cos a + \cos 2a} = \frac{2 \cos a \cdot (\cos a + \cos 2a)}{\cos a + \cos 2a} = 2 \cos a;$$

Ответ: $2 \cos a$.

1. Решение для выражения

$$\frac{\cos 4a — \cos 2a}{\sin 3a \cdot \sin a}$$

Шаг 1. Преобразование знаменателя

Используем формулу для произведения синусов:

$$\sin x \cdot \sin y = \frac{1}{2} \left( \cos(x — y) — \cos(x + y) \right)$$

Для выражения $\sin 3a \cdot \sin a$ подставим в формулу:

$$\sin 3a \cdot \sin a = \frac{1}{2} \left( \cos(3a — a) — \cos(3a + a) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2a — \cos 4a \right)$$

Шаг 2. Подставим это в исходное выражение

Теперь, подставив это в исходное выражение, получаем:

$$\frac{\cos 4a — \cos 2a}{\sin 3a \cdot \sin a} = \frac{\cos 4a — \cos 2a}{\frac{1}{2} \left( \cos 2a — \cos 4a \right)}$$

Шаг 3. Умножаем числитель и знаменатель на 2

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 2:

$$\frac{\cos 4a — \cos 2a}{\frac{1}{2} \left( \cos 2a — \cos 4a \right)} = \frac{2 \cdot (\cos 4a — \cos 2a)}{\cos 2a — \cos 4a}$$

Шаг 4. Используем свойство выражения

Мы видим, что числитель и знаменатель — это одно и то же выражение, но с противоположными знаками. Поэтому можно упростить дробь:

$$\frac{2 \cdot (\cos 4a — \cos 2a)}{\cos 2a — \cos 4a} = -2 \cdot \frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a — \cos 4a}$$

Так как $\frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a — \cos 4a} = 1$, получаем:

$$-2 \cdot 1 = -2$$

Ответ:

$$-2$$

2. Решение для выражения

$$\frac{1 + \cos a + \cos 2a + \cos 3a}{\cos a + 2 \cos^2 a — 1}$$

Шаг 1. Преобразуем числитель

В числителе у нас сумма $\cos a$, $\cos 2a$ и $\cos 3a$. Чтобы упростить выражение, воспользуемся формулой для косинуса суммы:

$$\cos(x + y) = \cos x \cos y — \sin x \sin y$$

Для $\cos 3a$ используем формулу для тройного угла:

$$\cos 3a = 4 \cos^3 a — 3 \cos a$$

Теперь подставим это в числитель:

$$1 + \cos a + \cos 2a + \cos 3a = 1 + \cos a + \cos 2a + 4 \cos^3 a — 3 \cos a$$

Упростим:

$$1 + \cos a + \cos 2a + \cos 3a = 1 — 2 \cos a + \cos 2a + 4 \cos^3 a$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель

Теперь преобразуем знаменатель $\cos a + 2 \cos^2 a — 1$. В знаменателе можно воспользоваться известной тригонометрической идентичностью:

$$\cos 2a = 2 \cos^2 a — 1$$

Таким образом, выражение в знаменателе преобразуется:

$$\cos a + 2 \cos^2 a — 1 = \cos a + (\cos 2a)$$

Шаг 3. Подставим преобразованные выражения

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$$\frac{1 — 2 \cos a + \cos 2a + 4 \cos^3 a}{\cos a + \cos 2a}$$

Шаг 4. Упростим дробь

Заметив, что в числителе можно вынести общий множитель $2 \cos a$, а в знаменателе уже присутствует $\cos a$, перепишем выражение:

$$\frac{2 \cos a (\cos a + \cos 2a)}{\cos a + \cos 2a}$$

Сокращаем $\cos a + \cos 2a$ в числителе и знаменателе:

$$2 \cos a$$

Ответ:

$$2 \cos a$$

Итоговые ответы:

1. $-2$
2. $2 \cos a$