ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1306 Алимов — Подробные Ответы

Задача

cos2 (a + 2b + sin2 (a — 2b) — 1;
sin2 (a + 2b + sin2 (a — 2b) — 1.

Краткий ответ:

${1) cos}^{2} (α + 2 β) + \sin^{2} (α - 2 β) - 1 =$

$= \cos^{2} (α + 2 β) - (1 - \sin^{2} (α - 2 β)) = \cos^{2} (α + 2 β) - \cos^{2} (α - 2 β) =$

$= (\cos (α + 2 β) - \cos (α - 2 β)) \cdot (\cos (α + 2 β) + \cos (α - 2 β)) =$

$= - 2 \cdot \sin α \cdot \sin 2 β \cdot 2 \cdot \cos α \cdot \cos 2 β = - 2 \sin α \cdot \cos α \cdot 2 \sin 2 β \cdot \cos 2 β =$

$= - \sin 2 α \cdot \sin 4 β$ ;

Ответ: $- \sin 2 α \cdot \sin 4 β$ .

${2) sin}^{2} (α + 2 β) + \sin^{2} (α - 2 β) - 1 =$

$= \sin^{2} (α + 2 β) - (1 - \sin^{2} (α - 2 β)) = \sin^{2} (α + 2 β) - \cos^{2} (α - 2 β) =$

$= (\sin (α + 2 β) - \cos (α - 2 β)) \cdot (\sin (α + 2 β) - \cos (α - 2 β)) =$

$= (\sin α \cdot \cos 2 β + \cos α \cdot \sin 2 β - \cos α \cdot \cos 2 β - \sin α \cdot \sin 2 β) \cdot$

$\cdot (\sin α \cdot \cos 2 β + \cos α \cdot \sin 2 β + \cos α \cdot \cos 2 β + \sin α \cdot \sin 2 β) =$

$= (\sin α \cdot (\cos 2 β - \sin 2 β) - \cos α \cdot (\cos 2 β - \sin 2 β)) \cdot$

$\cdot (\sin α \cdot (\cos 2 β + \sin 2 β) + \cos α \cdot (\cos 2 β + \sin 2 β)) =$

$= (\sin α - \cos α) (\sin α + \cos α) (\cos 2 β - \sin 2 β) (\cos 2 β + \sin 2 β) =$

$= (\sin^{2} α - \cos^{2} α) (\cos^{2} 2 β - \sin^{2} 2 β) = - \cos 2 α \cdot \cos 4 β$ ;

Ответ: $- \cos 2 α \cdot \cos 4 β$ .

Подробный ответ:

Задача 1

Нам нужно упростить выражение:

$\cos^{2} (α + 2 β) + \sin^{2} (α - 2 β) - 1$

Шаг 1: Используем тождество Пифагора для синуса и косинуса.

Задача начинается с выражения суммы квадратов косинуса и синуса. Мы можем применить стандартное тригонометрическое тождество $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 1$ , но в данном случае у нас нет общего аргумента для косинуса и синуса. Следовательно, продолжим решение следующим образом:

$\cos^{2} (α + 2 β) + \sin^{2} (α - 2 β) - 1$

Применяем формулу разности квадратов:

$\cos^{2} (α + 2 β) - (1 - \sin^{2} (α - 2 β)) = \cos^{2} (α + 2 β) - \cos^{2} (α - 2 β)$

Шаг 2: Разность квадратов.

Используем разность квадратов для выражения $\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y)$ :

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) = (\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$

Таким образом, выражение примет вид:

$(\cos (α + 2 β) - \cos (α - 2 β)) (\cos (α + 2 β) + \cos (α - 2 β))$

Шаг 3: Используем формулы для разности и суммы косинусов.

Для вычисления разности и суммы косинусов воспользуемся стандартными тригонометрическими формулами:

$\cos (x) - \cos (y) = - 2 \sin (\frac{x + y}{2}) \sin (\frac{x - y}{2})$ $\cos (x) + \cos (y) = 2 \cos (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2})$

Применим их к нашему выражению:

$\cos (α + 2 β) - \cos (α - 2 β) = - 2 \sin (\frac{(α + 2 β) + (α - 2 β)}{2}) \sin (\frac{(α + 2 β) - (α - 2 β)}{2})$ $= - 2 \sin (α) \sin (2 β)$ $\cos (α + 2 β) + \cos (α - 2 β) = 2 \cos (\frac{(α + 2 β) + (α - 2 β)}{2}) \cos (\frac{(α + 2 β) - (α - 2 β)}{2})$ $= 2 \cos (α) \cos (2 β)$

Шаг 4: Подставим в исходное выражение.

Теперь подставим полученные значения для разности и суммы косинусов в исходное выражение:

$(\cos (α + 2 β) - \cos (α - 2 β)) (\cos (α + 2 β) + \cos (α - 2 β)) =$

$= (- 2 \sin (α) \sin (2 β)) \cdot (2 \cos (α) \cos (2 β))$

Упростим это:

$= - 2 \sin (α) \cos (α) \cdot 2 \sin (2 β) \cos (2 β)$

Шаг 5: Применим тождества для синусов и косинусов.

Используем стандартные тригонометрические тождества:

$\sin (2 α) = 2 \sin (α) \cos (α)$ $\sin (4 β) = 2 \sin (2 β) \cos (2 β)$

Таким образом, выражение можно упростить как:

$= - 2 \sin (α) \cos (α) \cdot 2 \sin (2 β) \cos (2 β) = - \sin (2 α) \sin (4 β)$

Ответ: $- \sin 2 α \cdot \sin 4 β$

Задача 2

Нам нужно упростить выражение:

$\sin^{2} (α + 2 β) + \sin^{2} (α - 2 β) - 1$

Шаг 1: Используем аналогичные преобразования.

Мы применим аналогичное преобразование, как и в первой задаче. Начнем с разности квадратов:

$\sin^{2} (α + 2 β) - (1 - \sin^{2} (α - 2 β)) = \sin^{2} (α + 2 β) - \cos^{2} (α - 2 β)$

Шаг 2: Разность квадратов.

Используем формулу для разности квадратов:

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (y) = (\sin (x) - \cos (y)) (\sin (x) + \cos (y))$

Таким образом, выражение примет вид:

$(\sin (α + 2 β) - \cos (α - 2 β)) (\sin (α + 2 β) + \cos (α - 2 β))$

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим.

Для того чтобы упростить каждое из произведений, используем раскрытие скобок:

$(\sin (α + 2 β) - \cos (α - 2 β)) (\sin (α + 2 β) + \cos (α - 2 β))$

Рассматриваем каждое произведение отдельно, начиная с первого:

$= (\sin α \cos 2 β + \cos α \sin 2 β - \cos α \cos 2 β - \sin α \sin 2 β)$

И второе произведение:

$= (\sin α \cos 2 β + \cos α \sin 2 β + \cos α \cos 2 β + \sin α \sin 2 β)$

Шаг 4: Упростим.

Теперь сгруппируем подобные члены, получим:

$(\sin α \cdot (\cos 2 β - \sin 2 β) - \cos α \cdot (\cos 2 β - \sin 2 β)) \cdot (\sin α \cdot (\cos 2 β + \sin 2 β) +$

$+ \cos α \cdot (\cos 2 β + \sin 2 β))$

Шаг 5: Разложение на множители.

Теперь раскроем произведение множителей:

$(\sin α - \cos α) (\sin α + \cos α) (\cos 2 β - \sin 2 β) (\cos 2 β + \sin 2 β)$

Шаг 6: Упростим результат.

Используя формулу для разности и суммы косинусов:

$(\cos 2 β - \sin 2 β) (\cos 2 β + \sin 2 β) = \cos^{2} 2 β - \sin^{2} 2 β$

Теперь можем записать итоговое выражение:

$= (\sin^{2} α - \cos^{2} α) (\cos^{2} 2 β - \sin^{2} 2 β) = - \cos 2 α \cdot \cos 4 β$

Ответ: $- \cos 2 α \cdot \cos 4 β$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы