ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1305 Алимов — Подробные Ответы

sin(x-2пи)cos(3пи/2 — x)+tg(пи-x)tg(3пи/2 + x).

Упростить выражение:

$$\sin(x — 2\pi) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) + \operatorname{tg}(\pi — x) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$$

Используем идентичности тригонометрических функций:

• $\sin(x — 2\pi) = \sin x$,
• $\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\sin x$ (по формуле для косинуса),
• $\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg} x$,
• $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{ctg} x$ (по формуле для тангенса).

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$$\sin x \cdot (-\sin x) + (-\operatorname{tg} x) \cdot (-\operatorname{ctg} x)$$

Упростим:

$$-\sin^2 x + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$$

Заметим, что $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$:

$$-\sin^2 x + 1$$

Выражаем это через косинус:

$$1 — \sin^2 x = \cos^2 x$$

Ответ: $\cos^2 x$.

Задано:

$$\sin(x — 2\pi) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) + \operatorname{tg}(\pi — x) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$$

Шаг 1: Применяем тригонометрические идентичности

Прежде всего, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения выражений внутри каждой из функций. Мы используем следующие известные тождества:

1. Для синуса:

   $$\sin(x — 2\pi) = \sin x$$

   Так как $\sin$ имеет период $2\pi$, то для любого угла $x$ выполняется равенство $\sin(x — 2\pi) = \sin x$.

2. Для косинуса:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\sin x$$

   Это можно доказать через использование формулы для косинуса разности:

   $$\cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

   Подставляя $A = \frac{3\pi}{2}$ и $B = x$, получаем:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = \cos\frac{3\pi}{2} \cdot \cos x + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin x$$

   Известно, что $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$ и $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$, следовательно:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = 0 \cdot \cos x — 1 \cdot \sin x = -\sin x$$

3. Для тангенса:

   $$\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg} x$$

   Это свойство тангенса из-за его периодичности. Мы знаем, что $\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg} x$ по свойствам функции тангенса.

4. Для второго тангенса:

   $$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{ctg} x$$

   Это также вытекает из периодичности и свойств тангенса и котангенса. Для $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} + x)$ выполняется равенство:

   $$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{ctg} x$$

Шаг 2: Подставляем эти идентичности в исходное выражение

Теперь мы подставим полученные тождества в исходное выражение:

$$\sin(x — 2\pi) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) + \operatorname{tg}(\pi — x) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$$

Получаем:

$$\sin x \cdot (-\sin x) + (-\operatorname{tg} x) \cdot (-\operatorname{ctg} x)$$

Шаг 3: Упрощаем выражение

Теперь упростим каждую часть:

1. Первая часть:

   $$\sin x \cdot (-\sin x) = -\sin^2 x$$

2. Вторая часть:

   $$(-\operatorname{tg} x) \cdot (-\operatorname{ctg} x) = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$$

   Мы знаем, что $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$, так как тангенс и котангенс — это взаимно обратные функции.

Таким образом, выражение упрощается до:

$$-\sin^2 x + 1$$

Шаг 4: Преобразуем в выражение через косинус

Мы знаем, что из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Следовательно, $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$, и подставляем это в наше выражение:

$$-\sin^2 x + 1 = -(1 — \cos^2 x) + 1$$

Упростим:

$$-(1 — \cos^2 x) + 1 = -1 + \cos^2 x + 1 = \cos^2 x$$

Ответ:

$$\cos^2 x$$