ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1304 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (1304—1309).

$$\frac{5 \cos x — 3 \sin x}{\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin(-x)} — \frac{\sin 2x — 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Упростим выражение:

$$\frac{5 \cos x — 3 \sin x}{\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin(-x)} — \frac{\sin 2x — 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Используя тригонометрические тождества, получаем:

$$= \frac{5 \cos x — 3 \sin x}{\cos x — \sin x} — \frac{\sin 2x — 8 \sin^2 x}{\cos^2 x — \sin^2 x}$$

Далее, умножаем числитель и знаменатель первого выражения на $\cos x + \sin x$, чтобы упростить дробь:

$$= \frac{(5 \cos x — 3 \sin x)(\cos x + \sin x) — (\sin 2x — 8 \sin^2 x)}{(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x)}$$

В знаменателе используется формула разности квадратов:

$$= \frac{5 \cos^2 x + 5 \sin x \cos x — 3 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x — 2 \sin x + 8 \sin^2 x}{\cos^2 x — \sin^2 x}$$

Упрощаем числитель:

$$= \frac{5 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 5 \sin^2 x — 2 \sin x \cos x}{\cos 2x}$$

Отменяются некоторые слагаемые:

$$= \frac{5 (\cos^2 x + \sin^2 x)}{\cos 2x}$$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$$= \frac{5}{\cos 2x}$$

Ответ: $\boxed{\frac{5}{\cos 2x}}$.

У нас есть выражение:

$$\frac{5 \cos x — 3 \sin x}{\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin(-x)} — \frac{\sin 2x — 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Шаг 1: Преобразование выражений в числителях

Рассмотрим первую дробь: $\frac{5 \cos x — 3 \sin x}{\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin(-x)}$

Используем тригонометрические тождества для преобразования выражений в знаменателе.

$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right)$ по формуле для синуса при смещении на $\frac{\pi}{2}$ (сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ от угла $x$):

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \cos x$$

$\sin(-x)$ — это тригонометрическое тождество для синуса с отрицательным углом:

$$\sin(-x) = -\sin x$$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение. Мы получаем:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin(-x) = \cos x — \sin x$$

Итак, выражение в числителе становится:

$$\frac{5 \cos x — 3 \sin x}{\cos x — \sin x}$$

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{\sin 2x — 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$

Здесь всё гораздо проще: оставляем числитель и знаменатель без изменений, так как они уже приведены в нужной форме.

Шаг 2: Преобразуем всю дробь

Теперь у нас есть выражение:

$$\frac{5 \cos x — 3 \sin x}{\cos x — \sin x} — \frac{\sin 2x — 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Чтобы упростить, нам нужно выразить оба слагаемых через общий знаменатель. Для этого определим общий знаменатель.

Преобразование первого слагаемого:

Перемножим числитель и знаменатель первого слагаемого на $\cos x + \sin x$ (для использования формулы разности квадратов в знаменателе). Таким образом, получаем:

$$\frac{5 \cos x — 3 \sin x}{\cos x — \sin x} \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\cos x + \sin x}$$

Числитель преобразуется так:

$$(5 \cos x — 3 \sin x)(\cos x + \sin x)$$

Знаменатель становится:

$$(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x) = \cos^2 x — \sin^2 x \quad \text{(по формуле разности квадратов)}$$

Преобразование числителя первого слагаемого:

Теперь раскрываем скобки в числителе:

$$(5 \cos x — 3 \sin x)(\cos x + \sin x) = 5 \cos^2 x + 5 \sin x \cos x — 3 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x$$

Собираем подобные слагаемые:

$$= 5 \cos^2 x + (5 \sin x \cos x — 3 \sin x \cos x) — 3 \sin^2 x = 5 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x$$

Шаг 3: Вторая часть выражения

Теперь у нас есть второе слагаемое:

$$— \frac{\sin 2x — 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Можно раскрыть $\sin 2x$ через тригонометрическую формулу:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставляем это в выражение:

$$— \frac{2 \sin x \cos x — 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Шаг 4: Объединяем всё

Теперь объединяем все части в одно выражение:

$$\frac{(5 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x)}{\cos^2 x — \sin^2 x} — \frac{2 \sin x \cos x — 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Чтобы упростить это выражение, заметим, что знаменатель во втором слагаемом — это $\cos 2x$, а $\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$. Таким образом, знаменатели обоих слагаемых одинаковы, и мы можем просто объединить их в один числитель:

$$\frac{5 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x — (2 \sin x \cos x — 8 \sin^2 x)}{\cos 2x}$$

Раскрываем скобки в числителе:

$$= \frac{5 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x — 3 \sin^2 x — 2 \sin x \cos x + 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Упрощаем:

$$= \frac{5 \cos^2 x + (2 \sin x \cos x — 2 \sin x \cos x) + (-3 \sin^2 x + 8 \sin^2 x)}{\cos 2x}$$

Отменяются $2 \sin x \cos x$ и $-2 \sin x \cos x\,$ и остаются только $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$:

$$= \frac{5 \cos^2 x + 5 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

Шаг 5: Применение основного тождества

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

Таким образом, числитель выражения равен 5:

$$= \frac{5}{\cos 2x}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{5}{\cos 2x}}$$