ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1303 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. $$\frac{1-\cos (2\pi -2a)}{1-{\cos }^2(a+\pi )}=2;$$
2. $$\frac{\sin^2(a + 90^\circ)}{1 + \sin(-a)} = 1 + \cos(a — 90^\circ);$$

1)

$$\frac{1 — \cos(2\pi — 2a)}{1 — \cos^2(a + \pi)} = 2;$$ $$1 — \cos(-2a) = 2;$$ $$1 — (-\cos a)^2 = 2;$$ $$1 — \cos 2a = 2;$$ $$\frac{\cos^2 a + \sin^2 a — (\cos^2 a — \sin^2 a)}{\cos^2 a + \sin^2 a — \cos^2 a} = 2;$$ $$\frac{2 \sin^2 a}{\sin^2 a} = 2;$$ $$2 = 2;$$

Тождество доказано.

2)

$$\frac{\sin^2(a + 90^\circ)}{1 + \sin(-a)} = 1 + \cos(a — 90^\circ);$$ $$\frac{\cos^2 a}{1 — \sin a} = 1 + \cos(90^\circ — a);$$ $$1 — \sin^2 a = 1 + \sin a;$$ $$\frac{(1 — \sin a)(1 + \sin a)}{1 — \sin a} = 1 + \sin a;$$ $$1 + \sin a = 1 + \sin a;$$

Тождество доказано.

1) Решение:

$$\frac{1 — \cos(2\pi — 2a)}{1 — \cos^2(a + \pi)} = 2$$

Шаг 1: Используем свойство косинуса при сдвиге на угол $2\pi$

Из тригонометрического тождества известно, что $\cos(2\pi — x) = \cos x$. Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{1 — \cos(2\pi — 2a)}{1 — \cos^2(a + \pi)} = \frac{1 — \cos(2a)}{1 — \cos^2(a + \pi)}$$

Шаг 2: Используем свойство косинуса для $a + \pi$

Известно, что $\cos(a + \pi) = -\cos a$ (так как $\cos(\pi + x) = -\cos x$). Подставим это:

$$\frac{1 — \cos(2a)}{1 — (-\cos a)^2} = \frac{1 — \cos 2a}{1 — \cos^2 a}$$

Шаг 3: Упростим числитель

В числителе у нас выражение $1 — \cos 2a$. Это стандартная тригонометрическая формула для косинуса удвоенного угла:

$$\cos 2a = 2 \cos^2 a — 1$$

Подставляем это:

$$1 — (2 \cos^2 a — 1) = 1 — 2 \cos^2 a + 1 = 2 — 2 \cos^2 a$$

Таким образом, числитель упрощается до:

$$2(1 — \cos^2 a)$$

Шаг 4: Упростим знаменатель

В знаменателе у нас выражение $1 — \cos^2 a$. Это известная тригонометрическая тождество:

$$1 — \cos^2 a = \sin^2 a$$

Теперь все выражение принимает вид:

$$\frac{2 \sin^2 a}{\sin^2 a}$$

Шаг 5: Сократим на $\sin^2 a$

Поскольку в числителе и знаменателе есть одинаковые множители $\sin^2 a$, мы можем их сократить (при условии, что $\sin a \neq 0$):

$$2 = 2$$

Ответ: Тождество доказано.

2) Решение:

$$\frac{\sin^2(a + 90^\circ)}{1 + \sin(-a)} = 1 + \cos(a — 90^\circ)$$

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества для углов

В левой части выражения у нас есть $\sin^2(a + 90^\circ)$. Известно, что:

$$\sin(a + 90^\circ) = \cos a$$

Таким образом, $\sin^2(a + 90^\circ)$ можно заменить на $\cos^2 a$:

$$\frac{\cos^2 a}{1 + \sin(-a)}$$

Шаг 2: Используем свойство синуса для отрицательного угла

Известно, что $\sin(-a) = -\sin a$. Подставляем это:

$$\frac{\cos^2 a}{1 — \sin a}$$

Теперь левая часть выражения становится:

$$\frac{\cos^2 a}{1 — \sin a}$$

Шаг 3: Рассмотрим правую часть

В правой части выражения у нас есть $1 + \cos(a — 90^\circ)$. Используем формулу для косинуса разности углов:

$$\cos(a — 90^\circ) = \cos a \cos 90^\circ + \sin a \sin 90^\circ$$

Так как $\cos 90^\circ = 0$ и $\sin 90^\circ = 1$, выражение упрощается до:

$$\cos(a — 90^\circ) = \sin a$$

Таким образом, правая часть становится:

$$1 + \sin a$$

Шаг 4: Преобразуем левую часть

Теперь рассмотрим, как преобразовать левую часть $\frac{\cos^2 a}{1 — \sin a}$. Мы знаем, что:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{1 — \sin^2 a}{1 — \sin a}$$

Шаг 5: Применим формулу разности квадратов

Теперь заметим, что числитель $(1 — \sin^2 a)$ — это разность квадратов, которую можно разложить:

$$1 — \sin^2 a = (1 — \sin a)(1 + \sin a)$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{(1 — \sin a)(1 + \sin a)}{1 — \sin a}$$

Шаг 6: Сократим на $(1 — \sin a)$

При условии, что $1 — \sin a \neq 0$, мы можем сократить на $(1 — \sin a)$:

$$1 + \sin a$$

Теперь левая и правая части выражения равны, и мы получаем:

$$1 + \sin a = 1 + \sin a$$

Ответ: Тождество доказано.