ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1302 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{\sin 2a+\cos 2a+2{\sin }^{2}a}{\sin (-a)-\sin (2,5\pi +a)}$$
2. $$\frac{\cos 2a-\sin 2a-2{\cos }^{2}a}{\cos (-a)-\cos (2,5+a)}$$

1)

$$\frac{\sin 2a + \cos 2a + 2 \sin^2 a}{\sin(-a) — \sin(2,5\pi + a)} = \frac{\sin 2a + \cos 2a + (1 — \cos 2a)}{-\sin a — \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right)} =$$ $$= \frac{\sin 2a + \cos 2a + 1 — \cos 2a}{-\sin a — \cos a} = \frac{2 \sin a \cdot \cos a + \sin^2 a + \cos^2 a}{-(\sin a + \cos a)} =$$ $$= \frac{(\sin a + \cos a)^2}{\sin a + \cos a} = -(\sin a + \cos a);$$

Ответ: $-(\sin a + \cos a)$.

2)

$$\frac{\cos 2a — \sin 2a — 2 \cos^2 a}{\cos(-a) — \cos(2,5 + a)} = \frac{\cos 2a — \sin 2a — (1 + \cos 2a)}{\cos a — \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right)} =$$ $$= \frac{\cos 2a — \sin 2a — 1 — \cos 2a}{\cos a + \sin a} = \frac{-2 \sin a \cdot \cos a — (\cos^2 a + \sin^2 a)}{\cos a + \sin a} =$$ $$= \frac{-(\sin a + \cos a)^2}{\sin a + \cos a} = -(\sin a + \cos a);$$

Ответ: $-(\sin a + \cos a)$.

1) Решение:

$$\frac{\sin 2a + \cos 2a + 2 \sin^2 a}{\sin(-a) — \sin(2,5\pi + a)}$$

Шаг 1: Используем свойства синуса для отрицательного угла

Знаем, что $\sin(-a) = -\sin a$. Подставим это в числитель и знаменатель:

$$\frac{\sin 2a + \cos 2a + 2 \sin^2 a}{-\sin a — \sin(2,5\pi + a)}$$

Шаг 2: Используем тригонометрические преобразования для $\sin(2,5\pi + a)$

Мы можем разложить $\sin(2,5\pi + a)$ по формуле суммы синуса и угла:

$$\sin(2,5\pi + a) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + a) = \sin(\frac{\pi}{2} + a)$$

Используя формулу для суммы синуса:

$$\sin(\frac{\pi}{2} + a) = \cos a$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{\sin 2a + \cos 2a + 2 \sin^2 a}{-\sin a — \cos a}$$

Шаг 3: Упростим числитель

Теперь у нас числитель:

$$\sin 2a + \cos 2a + 2 \sin^2 a$$

Заменим $\sin 2a$ и $\cos 2a$ через идентичности:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$ $$\cos 2a = 1 — 2 \sin^2 a$$

Теперь подставим эти выражения в числитель:

$$2 \sin a \cos a + 1 — 2 \sin^2 a + 2 \sin^2 a$$

Упрощаем:

$$2 \sin a \cos a + 1$$

Шаг 4: Упростим знаменатель

Знаменатель:

$$-\sin a — \cos a$$

Теперь наше выражение принимает вид:

$$\frac{2 \sin a \cos a + 1}{-(\sin a + \cos a)}$$

Шаг 5: Разделим числитель и знаменатель

В числителе и знаменателе есть выражение $(\sin a + \cos a)$. Попробуем выразить числитель через квадрат $(\sin a + \cos a)$:

Для этого воспользуемся формулой разложения квадрата:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

Так как $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$, то:

$$(\sin a + \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a$$

Теперь числитель можно переписать как:

$$(\sin a + \cos a)^2 — 1$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{(\sin a + \cos a)^2 — 1}{-(\sin a + \cos a)} = -(\sin a + \cos a)$$

Ответ: $-(\sin a + \cos a)$.

2) Решение:

$$\frac{\cos 2a — \sin 2a — 2 \cos^2 a}{\cos(-a) — \cos(2,5 + a)}$$

Шаг 1: Используем свойства косинуса для отрицательного угла

Знаем, что $\cos(-a) = \cos a$. Подставим это в выражение:

$$\frac{\cos 2a — \sin 2a — 2 \cos^2 a}{\cos a — \cos(2,5 + a)}$$

Шаг 2: Используем тригонометрическое преобразование для $\cos(2,5\pi + a)$

Для выражения $\cos(2,5\pi + a)$, аналогично предыдущему примеру, используем формулу для косинуса сдвинутого на $\frac{\pi}{2}$:

$$\cos(2,5\pi + a) = \cos(\frac{\pi}{2} + a) = -\sin a$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{\cos 2a — \sin 2a — 2 \cos^2 a}{\cos a + \sin a}$$

Шаг 3: Упростим числитель

Теперь числитель:

$$\cos 2a — \sin 2a — 2 \cos^2 a$$

Используем известные тождества для $\cos 2a$ и $\sin 2a$:

$$\cos 2a = 1 — 2 \sin^2 a$$ $$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Подставляем эти выражения в числитель:

$$(1 — 2 \sin^2 a) — 2 \sin a \cos a — 2 \cos^2 a$$

Упрощаем, используя $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:

$$1 — 2 (\sin^2 a + \cos^2 a) — 2 \sin a \cos a = 1 — 2 — 2 \sin a \cos a = -1 — 2 \sin a \cos a$$

Таким образом, числитель стал:

$$-1 — 2 \sin a \cos a$$

Шаг 4: Упростим знаменатель

Знаменатель:

$$\cos a + \sin a$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{-1 — 2 \sin a \cos a}{\cos a + \sin a}$$

Шаг 5: Разделим числитель и знаменатель

Теперь можно выразить числитель через квадрат $(\sin a + \cos a)$. Рассмотрим квадрат:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = 1 + 2 \sin a \cos a$$

Тогда числитель можно записать как:

$$-(\sin a + \cos a)^2$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{-(\sin a + \cos a)^2}{\sin a + \cos a} = -(\sin a + \cos a)$$

Ответ: $-(\sin a + \cos a)$.