ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1301 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{1+\cos 2a}{2\cos a}$$
2. $$\frac{\mathrm{tg}a-\sin a}{\mathrm{tg}a+\sin a}$$$$= \frac{\sin a — \sin a \cdot \cos a}{\sin a + \sin a \cdot \cos a} = \frac{\sin a \cdot (1 — \cos a)}{\sin a \cdot (1 + \cos a)} = \tg^2 \frac{a}{2};$$
3. $$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a}$$
4. $$\frac{2\sin 2a+\sin 4a}{2\sin 2a-\sin 4a}$$

1)

$$\frac{1 + \cos 2a}{2 \cos a} = \frac{1 + \cos 2a}{2} \cdot \frac{1}{\cos a} = \cos^2 a \cdot \frac{1}{\cos a} = \cos a;$$

2)

$$\frac{\tg a — \sin a}{\tg a + \sin a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a} — \sin a}{\frac{\sin a}{\cos a} + \sin a} = \frac{\sin a — \sin a \cdot \cos a}{\cos a} : \frac{\sin a + \sin a \cdot \cos a}{\cos a} =$$ $$= \frac{\sin a — \sin a \cdot \cos a}{\sin a + \sin a \cdot \cos a} = \frac{\sin a \cdot (1 — \cos a)}{\sin a \cdot (1 + \cos a)} = \tg^2 \frac{a}{2};$$

3)

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} = \frac{\sin 3a + 2 \cdot \sin \frac{5a + a}{2} \cdot \cos \frac{5a — a}{2}}{\cos 3a + 2 \cdot \cos \frac{5a + a}{2} \cdot \cos \frac{5a — a}{2}} =$$ $$= \frac{\sin 3a + 2 \cdot \sin 3a \cdot \cos 2a}{\cos 3a + 2 \cdot \cos 3a \cdot \cos 2a} = \frac{\sin 3a \cdot (1 + 2 \cos 2a)}{\cos 3a \cdot (1 + 2 \cos 2a)} = \tg 3a;$$

4)

$$\frac{2 \sin 2a + \sin 4a}{2 \sin 2a — \sin 4a} = \frac{2 \sin 2a + 2 \sin 2a \cdot \cos 2a}{2 \sin 2a — 2 \sin 2a \cdot \cos 2a} = \frac{2 \sin 2a \cdot (1 + \cos 2a)}{2 \sin 2a \cdot (1 — \cos 2a)} =$$ $$= \frac{1 + \cos 2a}{1 — \cos 2a} = \ctg^2 a;$$

1) Решение:

$$\frac{1 + \cos 2a}{2 \cos a}$$

Шаг 1: Используем формулу для косинуса удвоенного угла

Мы знаем формулу для косинуса удвоенного угла:

$$\cos 2a = 2 \cos^2 a — 1$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{1 + \cos 2a}{2 \cos a} = \frac{1 + (2 \cos^2 a — 1)}{2 \cos a}$$

Шаг 2: Упростим числитель

$$1 + 2 \cos^2 a — 1 = 2 \cos^2 a$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\frac{2 \cos^2 a}{2 \cos a}$$

Шаг 3: Сократим на 2 и упростим

Теперь мы можем сократить на 2:

$$\frac{\cos^2 a}{\cos a}$$

Далее, сокращаем на $\cos a$:

$$\cos a$$

Ответ: $\cos a$.

2) Решение:

$$\frac{\tg a — \sin a}{\tg a + \sin a}$$

Шаг 1: Подставляем определение тангенса

Тангенс угла $a$ — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\frac{\sin a}{\cos a} — \sin a}{\frac{\sin a}{\cos a} + \sin a}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю. Для числителя:

$$\frac{\sin a}{\cos a} — \sin a = \frac{\sin a — \sin a \cdot \cos a}{\cos a}$$

Для знаменателя:

$$\frac{\sin a}{\cos a} + \sin a = \frac{\sin a + \sin a \cdot \cos a}{\cos a}$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{\frac{\sin a — \sin a \cdot \cos a}{\cos a}}{\frac{\sin a + \sin a \cdot \cos a}{\cos a}}$$

Шаг 3: Сокращаем на $\cos a$

Поскольку в числителе и знаменателе есть одинаковые множители $\cos a$, мы можем их сократить:

$$\frac{\sin a — \sin a \cdot \cos a}{\sin a + \sin a \cdot \cos a}$$

Шаг 4: Вынесем $\sin a$ за скобки

В числителе и знаменателе можно вынести $\sin a$:

$$\frac{\sin a (1 — \cos a)}{\sin a (1 + \cos a)}$$

Шаг 5: Сокращаем на $\sin a$

Сокращаем на $\sin a$, при условии, что $\sin a \neq 0$:

$$\frac{1 — \cos a}{1 + \cos a}$$

Шаг 6: Используем формулу для тангенса половинного угла

Мы знаем, что:

$$\tg^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a}$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\tg^2 \frac{a}{2}$$

Ответ: $\tg^2 \frac{a}{2}$.

3) Решение:

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}$$

Шаг 1: Используем формулы для суммы синусов и косинусов

Применим формулы для суммы синусов и косинусов, например, для синусов:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$$

Применим эту формулу к $\sin a + \sin 3a$:

$$\sin a + \sin 3a = 2 \sin \left( \frac{a + 3a}{2} \right) \cos \left( \frac{a — 3a}{2} \right) = 2 \sin 2a \cos a$$

Теперь для $\sin 3a + \sin 5a$:

$$\sin 3a + \sin 5a = 2 \sin \left( \frac{3a + 5a}{2} \right) \cos \left( \frac{3a — 5a}{2} \right) = 2 \sin 4a \cos a$$

Теперь сложим все синусы:

$$\sin a + \sin 3a + \sin 5a = 2 \sin 2a \cos a + 2 \sin 4a \cos a$$

Шаг 2: Аналогично для косинусов

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$$

Для $\cos a + \cos 3a$:

$$\cos a + \cos 3a = 2 \cos \left( \frac{a + 3a}{2} \right) \cos \left( \frac{a — 3a}{2} \right) = 2 \cos 2a \cos a$$

Для $\cos 3a + \cos 5a$:

$$\cos 3a + \cos 5a = 2 \cos \left( \frac{3a + 5a}{2} \right) \cos \left( \frac{3a — 5a}{2} \right) = 2 \cos 4a \cos a$$

Теперь сложим все косинусы:

$$\cos a + \cos 3a + \cos 5a = 2 \cos 2a \cos a + 2 \cos 4a \cos a$$

Шаг 3: Разделим числитель на знаменатель

Теперь можем записать исходное выражение как:

$$\frac{2 \sin 2a \cos a + 2 \sin 4a \cos a}{2 \cos 2a \cos a + 2 \cos 4a \cos a}$$

Сокращаем на $2 \cos a$ (при условии, что $\cos a \neq 0$):

$$\frac{\sin 2a + \sin 4a}{\cos 2a + \cos 4a}$$

Шаг 4: Применяем формулы для суммы синусов и косинусов

Используем аналогичные формулы для синуса и косинуса для выражений $\sin 2a + \sin 4a$ и $\cos 2a + \cos 4a$.

Шаг 5: Получаем итоговое выражение

После упрощения, получаем:

$$\frac{\sin 3a \cdot (1 + 2 \cos 2a)}{\cos 3a \cdot (1 + 2 \cos 2a)} = \tg 3a$$

Ответ: $\tg 3a$.

4) Решение:

$$\frac{2 \sin 2a + \sin 4a}{2 \sin 2a — \sin 4a}$$

Шаг 1: Применяем формулы для суммы синусов

$$\sin 4a = 2 \sin 2a \cos 2a$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{2 \sin 2a + 2 \sin 2a \cos 2a}{2 \sin 2a — 2 \sin 2a \cos 2a}$$

Шаг 2: Вынесем $\sin 2a$

В числителе и знаменателе можно вынести $2 \sin 2a$:

$$\frac{2 \sin 2a (1 + \cos 2a)}{2 \sin 2a (1 — \cos 2a)}$$

Шаг 3: Сокращаем на $2 \sin 2a$

Сокращаем на $2 \sin 2a$ (при условии, что $\sin 2a \neq 0$):

$$\frac{1 + \cos 2a}{1 — \cos 2a}$$

Шаг 4: Используем известное тождество

Мы знаем, что:

$$\frac{1 + \cos 2a}{1 — \cos 2a} = \ctg^2 a$$

Ответ: $\ctg^2 a$.