ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1300 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{{\mathrm{tg}}^{2}a}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}a}$$
2. $$\frac{1+{\mathrm{ctg}}^{2}a}{{\mathrm{ctg}}^{2}a}$$
3. $$\frac{\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta }{\mathrm{ctg}\alpha +\mathrm{ctg}\beta }$$
4. $$(\mathrm{tg}a+\mathrm{ctg}a{)}^2-(\mathrm{tg}a-\mathrm{ctg}a{)}^2$$

1)

$$\frac{\operatorname{tg}^{2} a}{1+\operatorname{ctg}^{2} a}=\operatorname{tg}^{2} a:\left(1+\frac{1}{\operatorname{tg}^{2} a}\right)=\operatorname{tg}^{2} a: \frac{\operatorname{tg}^{2} a+1}{\operatorname{tg}^{2} a}=$$ $$=\operatorname{tg}^{2} a \cdot \frac{\operatorname{tg}^{2} a}{\operatorname{tg}^{2} a+1}=\operatorname{tg}^{4} a:(\operatorname{tg}^{2} a+1)=\operatorname{tg}^{4} a: \frac{1}{\cos ^{2} a}=$$ $$=\frac{\sin ^{4} a}{\cos ^{4} a} \cdot \cos ^{2} a=\frac{\sin ^{4} a}{\cos ^{2} a}=\operatorname{tg}^{2} a \cdot \sin ^{2} a ;$$

2)

$$\frac{1+\operatorname{ctg}^{2} a}{\operatorname{ctg}^{2} a}=\left(1+\frac{\cos ^{2} a}{\sin ^{2} a}\right): \frac{\cos ^{2} a}{\sin ^{2} a}=\frac{\sin ^{2} a+\cos ^{2} a}{\sin ^{2} a} \cdot \frac{\sin ^{2} a}{\cos ^{2} a}=$$ $$=\frac{1}{\sin ^{2} a} \cdot \frac{\sin ^{2} a}{\cos ^{2} a}=\frac{1}{\cos ^{2} a} ;$$

3)

$$\frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \beta}=\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right):\left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right)=$$ $$=\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta-\sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}: \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta+\sin \beta \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}=$$ $$=\frac{2 \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin (\alpha-\beta)}{2 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \sin (\alpha+\beta)}=\frac{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)} \cdot \frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin (\alpha+\beta)}=$$ $$=\frac{\sin (\alpha-\beta) \cdot \cos (\alpha-\beta)-\sin (\alpha-\beta) \cdot \cos (\alpha+\beta)}{\sin (\alpha-\beta) \cdot \cos (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta) \cdot \cos (\alpha-\beta)}=$$ $$=\frac{1}{2} \cdot\left(\sin (2 \alpha-2 \beta)+\sin 0\right)-\frac{1}{2} \cdot\left(\sin 2 \alpha+\sin (-2 \beta)\right)=$$ $$=\frac{1}{2} \cdot\left(\sin 2 \alpha+\sin (-2 \beta)\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\sin (2 \alpha-2 \beta)+\sin 0\right)$$ $$=\frac{\sin (2 \alpha-2 \beta)+\sin 2 \beta-\sin 2 \alpha}{\sin (2 \alpha-2 \beta)-\sin 2 \beta+\sin 2 \alpha}=\frac{2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos (\alpha-2 \beta)-2 \sin \alpha \cdot \cos (\alpha+2 \beta)}{2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos (\alpha+2 \beta)+2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}=$$ $$=\frac{\cos (\alpha-2 \beta)-\cos \alpha}{\cos (\alpha+2 \beta)+\cos \alpha}=\frac{-2 \cdot \sin (\alpha+\beta) \cdot \sin (-\beta)}{2 \cdot \cos (\alpha+\beta) \cdot \cos \beta}=\operatorname{tg}(\alpha+\beta) \cdot \operatorname{tg} \beta ;$$

4)

$$(\operatorname{tg} a+\operatorname{ctg} a)^{2}-(\operatorname{tg} a-\operatorname{ctg} a)^{2}=$$ $$\operatorname{tg}^{2} a+\operatorname{ctg}^{2} a+2 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a-\left(\operatorname{tg}^{2} a+\operatorname{ctg}^{2} a-2 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a\right)=$$ $$=4 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a=4 \cdot \operatorname{tg} a \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} a}=4 \cdot 1=4 ;$$

Задача 1

Условие:

$$\frac{\operatorname{tg}^{2} a}{1+\operatorname{ctg}^{2} a}$$

Решение:

Начнем с того, что мы знаем, что существует основное тригонометрическое тождество:

$$1 + \operatorname{ctg}^{2} a = \frac{1}{\sin^{2} a}$$

Поэтому выражение превращается в:

$$\frac{\operatorname{tg}^{2} a}{1+\operatorname{ctg}^{2} a} = \frac{\operatorname{tg}^{2} a}{\frac{1}{\sin^{2} a}} = \operatorname{tg}^{2} a \cdot \sin^{2} a$$

Воспользуемся тем, что $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$, следовательно:

$$\operatorname{tg}^{2} a = \frac{\sin^{2} a}{\cos^{2} a}$$

Подставляем это в выражение:

$$\operatorname{tg}^{2} a \cdot \sin^{2} a = \frac{\sin^{2} a}{\cos^{2} a} \cdot \sin^{2} a = \frac{\sin^{4} a}{\cos^{2} a}$$

Ответ:

$$\frac{\sin^{4} a}{\cos^{2} a} = \operatorname{tg}^{2} a \cdot \sin^{2} a$$

Ответ: $\boxed{\operatorname{tg}^{2} a \cdot \sin^{2} a}$.

Задача 2

Условие:

$$\frac{1+\operatorname{ctg}^{2} a}{\operatorname{ctg}^{2} a}$$

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$$1 + \operatorname{ctg}^{2} a = \frac{1}{\sin^{2} a}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{1+\operatorname{ctg}^{2} a}{\operatorname{ctg}^{2} a} = \frac{\frac{1}{\sin^{2} a}}{\operatorname{ctg}^{2} a} = \frac{1}{\sin^{2} a} \cdot \frac{1}{\frac{\cos^{2} a}{\sin^{2} a}} = \frac{1}{\cos^{2} a}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{\cos^{2} a}}$.

Задача 3

Условие:

$$\frac{\operatorname{tg} \alpha — \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}$$

Решение:

Выражаем тангенс и котангенс через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$$ $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \operatorname{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$$

Подставим эти выражения в исходную формулу:

$$\frac{\operatorname{tg} \alpha — \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}}$$

Приводим к общим знаменателям:

$$\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}} = \frac{\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta — \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}{\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}}$$

Упростим дробь:

$$= \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta — \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} \cdot \frac{\sin \alpha \cdot \sin \beta}{\sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha}$$

Теперь продолжим упрощать:

$$= \frac{2 \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin (\alpha-\beta)}{2 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \sin (\alpha+\beta)}$$

Получаем:

$$= \frac{\cos (\alpha-\beta) — \cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)} \cdot \frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin (\alpha+\beta)}$$

Это дает итоговый ответ:

$$\boxed{\operatorname{tg}(\alpha+\beta) \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Задача 4

Условие:

$$(\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 — (\operatorname{tg} a — \operatorname{ctg} a)^2$$

Решение:

Применим формулу разности квадратов:

$$(x + y)^2 — (x — y)^2 = 4xy$$

Где $x = \operatorname{tg} a$, а $y = \operatorname{ctg} a$. Следовательно, у нас будет:

$$(\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 — (\operatorname{tg} a — \operatorname{ctg} a)^2 = 4 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a$$

Заменим $\operatorname{ctg} a = \frac{1}{\operatorname{tg} a}$:

$$4 \operatorname{tg} a \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} a} = 4$$

Ответ: $\boxed{4}$.