ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 130 Алимов — Подробные Ответы

1. у = корень 5 степени x и у = х3/5 ;
2. у = корень 7 степени х и у=х5/7.

Найти координаты точек пересечения графиков функций:

1)

$y = \sqrt[5]{x}$

и

$y = x^{\frac{3}{5}}$

$$\sqrt[5]{x} = x^{\frac{3}{5}};$$

$$x^{\frac{1}{5}} — x^{\frac{3}{5}} = 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{2}{5}} \right) = 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{1}{5}} \right) \left( 1 + x^{\frac{1}{5}} \right) = 0;$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1;$$

$$y_1 = 0, \quad y_2 = 1, \quad y_3 = -1;$$

Функция

$y = x^{\frac{3}{5}}$

определена при:

$x \geq 0$

;

Ответ:

$(0; 0), \, (1; 1)$

.

2)

$y = \sqrt[7]{x}$

и

$y = x^{\frac{5}{7}}$

$$\sqrt[7]{x} = x^{\frac{5}{7}};$$

$$x^{\frac{1}{7}} — x^{\frac{5}{7}} = 0;$$

$$x^{\frac{1}{7}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{4}{7}} \right) = 0;$$

$$x^{\frac{1}{7}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{2}{7}} \right) \left( 1 + x^{\frac{2}{7}} \right) = 0;$$

$$x^{\frac{1}{7}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{1}{7}} \right) \left( 1 + x^{\frac{1}{7}} \right) = 0;$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1;$$

$$y_1 = 0, \quad y_2 = 1, \quad y_3 = -1;$$

Функция

$y = x^{\frac{5}{7}}$

определена при:

$x \geq 0$

;

Ответ:

$(0; 0), \, (1; 1)$

.

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) } (0; 0), \, (1; 1); \quad \text{2) } (0; 0), \, (1; 1). }$$

Найти координаты точек пересечения графиков функций:

1)

$y = \sqrt[5]{x}$

и

$y = x^{\frac{3}{5}}$

Для того чтобы найти координаты точек пересечения графиков данных функций, необходимо приравнять их друг к другу:

$$\sqrt[5]{x} = x^{\frac{3}{5}}.$$

Перепишем это равенство в виде степени:

$$x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}}.$$

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

$$x^{\frac{1}{5}} — x^{\frac{3}{5}} = 0.$$

Вынесем общий множитель

$x^{\frac{1}{5}}$

:

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{2}{5}} \right) = 0.$$

Теперь у нас есть два возможных случая:

• 
  $x^{\frac{1}{5}} = 0$ 

  , что дает $x = 0$ 

  .

• 
  $1 — x^{\frac{2}{5}} = 0$ 

  , что дает $x^{\frac{2}{5}} = 1$ 

  , откуда $x = 1$ 

  .

Таким образом, мы получаем два значения для

$x$

:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1.$$

Найдем соответствующие значения

$y$

для этих

$x$

:

• При
  $x = 0$ 

  , $y = \sqrt[5]{0} = 0$ 

  , то есть $(0; 0)$ 

  .

• При
  $x = 1$ 

  , $y = \sqrt[5]{1} = 1$ 

  , то есть $(1; 1)$ 

  .

Важно отметить, что функция

$y = x^{\frac{3}{5}}$

определена только при

$x \geq 0$

, следовательно,

$x = -1$

не подходит в этом случае.

Ответ для первой задачи:

$$(0; 0), \, (1; 1).$$

2)

$y = \sqrt[7]{x}$

и

$y = x^{\frac{5}{7}}$

Аналогично первой задаче, приравняем данные функции:

$$\sqrt[7]{x} = x^{\frac{5}{7}}.$$

Перепишем это равенство в виде степени:

$$x^{\frac{1}{7}} = x^{\frac{5}{7}}.$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^{\frac{1}{7}} — x^{\frac{5}{7}} = 0.$$

Вынесем общий множитель

$x^{\frac{1}{7}}$

:

$$x^{\frac{1}{7}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{4}{7}} \right) = 0.$$

Рассмотрим два случая:

• 
  $x^{\frac{1}{7}} = 0$ 

  , что дает $x = 0$ 

  .

• 
  $1 — x^{\frac{4}{7}} = 0$ 

  , что дает $x^{\frac{4}{7}} = 1$ 

  , откуда $x = 1$ 

  .

Таким образом, получаем два значения для

$x$

:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1.$$

Найдем соответствующие значения

$y$

:

• При
  $x = 0$ 

  , $y = \sqrt[7]{0} = 0$ 

  , то есть $(0; 0)$ 

  .

• При
  $x = 1$ 

  , $y = \sqrt[7]{1} = 1$ 

  , то есть $(1; 1)$ 

  .

Также, как и в первой задаче, функция

$y = x^{\frac{5}{7}}$

определена только при

$x \geq 0$

, поэтому

$x = -1$

не подходит.

Ответ для второй задачи:

$$(0; 0), \, (1; 1).$$

Общий ответ:

$$\boxed{ \text{1) } (0; 0), \, (1; 1); \quad \text{2) } (0; 0), \, (1; 1). }$$