ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 130 Алимов — Подробные Ответы

Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1. у = корень 5 степени x и у = х3/5 ;
2. у = корень 7 степени х и у=х5/7.

Найти координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = \sqrt[5]{x}$и $y = x^{\frac{3}{5}}$

$$\sqrt[5]{x} = x^{\frac{3}{5}};$$

$$x^{\frac{1}{5}} — x^{\frac{3}{5}} = 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{2}{5}} \right) = 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{1}{5}} \right) \left( 1 + x^{\frac{1}{5}} \right) = 0;$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1;$$

$$y_1 = 0, \quad y_2 = 1, \quad y_3 = -1;$$

Функция $y = x^{\frac{3}{5}}$ определена при: $x \geq 0$

Ответ: $(0; 0), \, (1; 1)$

2) $y = \sqrt[7]{x}$и $y = x^{\frac{5}{7}}$

$$\sqrt[7]{x} = x^{\frac{5}{7}};$$

$$x^{\frac{1}{7}} — x^{\frac{5}{7}} = 0;$$

$$x^{\frac{1}{7}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{4}{7}} \right) = 0;$$

$$x^{\frac{1}{7}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{2}{7}} \right) \left( 1 + x^{\frac{2}{7}} \right) = 0;$$

$$x^{\frac{1}{7}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{1}{7}} \right) \left( 1 + x^{\frac{1}{7}} \right) = 0;$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1;$$

$$y_1 = 0, \quad y_2 = 1, \quad y_3 = -1;$$

Функция $y = x^{\frac{5}{7}}$ определена при: $x \geq 0$

Ответ: $(0; 0), \, (1; 1)$

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) } (0; 0), \, (1; 1); \quad \text{2) } (0; 0), \, (1; 1). }$$

Найти координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{\frac{3}{5}}$

Для того чтобы найти координаты точек пересечения графиков данных функций, необходимо приравнять их друг к другу:

$$\sqrt[5]{x} = x^{\frac{3}{5}}.$$

Перепишем это равенство в виде степени:

$$x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}}.$$

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

$$x^{\frac{1}{5}} — x^{\frac{3}{5}} = 0.$$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{5}}$:

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{2}{5}} \right) = 0.$$

Теперь у нас есть два возможных случая:

• $x^{\frac{1}{5}} = 0$, что дает $x = 0$
• $1 — x^{\frac{2}{5}} = 0$, что дает $x^{\frac{2}{5}} = 1$, откуда $x = 1$

Таким образом, мы получаем два значения для $x$:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1.$$

Найдем соответствующие значения $y$ для этих $x$:

• При $x=0$, $y=\sqrt[5]{0}=0$, то есть $(0;0)$$$
• При $x=1$, $y=\sqrt[5]{1}=1$, то есть $(1;1)$

Важно отметить, что функция $y = x^{\frac{3}{5}}$ определена только при $x \geq 0$, следовательно, $x = -1$ не подходит в этом случае.

Ответ для первой задачи:

$$(0; 0), \, (1; 1).$$

2) $y = \sqrt[7]{x}$и $y = x^{\frac{5}{7}}$

Аналогично первой задаче, приравняем данные функции:

$$\sqrt[7]{x} = x^{\frac{5}{7}}.$$

Перепишем это равенство в виде степени:

$$x^{\frac{1}{7}} = x^{\frac{5}{7}}.$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^{\frac{1}{7}} — x^{\frac{5}{7}} = 0.$$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{7}}$:

$$x^{\frac{1}{7}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{4}{7}} \right) = 0.$$

Рассмотрим два случая:

• $x^{\frac{1}{7}} = 0$, что дает $x = 0$
• $1 — x^{\frac{4}{7}} = 0$, что дает $x^{\frac{4}{7}} = 1$, откуда $x = 1$

Таким образом, получаем два значения для $x$:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1.$$

Найдем соответствующие значения $y$:

• При $x=0$, $y=\sqrt[7]{0}=0$, то есть $(0;0)$
• При $x=1$, $y=\sqrt[7]{1}=1$, то есть $(1;1)$

Также, как и в первой задаче, функция $y = x^{\frac{5}{7}}$ определена только при $x \geq 0$, поэтому $x = -1$ не подходит.

Ответ для второй задачи:

$$(0; 0), \, (1; 1).$$

Общий ответ:$$\boxed{ \text{1) } (0; 0), \, (1; 1); \quad \text{2) } (0; 0), \, (1; 1). }$$