ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1297 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (1297—1302).

1. $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}-\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+a)$$$$= \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} — \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} = 0;$$
2. $${\mathrm{tg}}^2(\frac{\pi }{2}-a)-\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}$$

1)

$$\frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a} — \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\frac{\cos a}{\cos a} + \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\cos a} — \frac{\sin a}{\cos a}} — \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} a} =$$ $$= \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} — \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} = 0;$$

Ответ: $0$.

2)

$$\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{2} — a\right) — \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} = \operatorname{ctg}^2 a — \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} =$$ $$= \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} = \frac{\cos^2 a \cdot (1 + \cos 2a) — \sin^2 a \cdot (1 — \cos 2a)}{\sin^2 a \cdot (1 + \cos 2a)} =$$ $$= \frac{\cos^2 a + \cos^2 a \cdot \cos 2a — \sin^2 a + \sin^2 a \cdot \cos 2a}{\sin^2 a \cdot (\cos^2 a + \sin^2 a + \cos^2 a — \sin^2 a)} =$$ $$= \frac{\cos^2 a — \sin^2 a + \cos 2a \cdot (\cos^2 a + \sin^2 a)}{2 \cdot \sin^2 a \cdot \cos^2 a} =$$ $$= \frac{\cos 2a + \cos 2a \cdot 1}{0,5 \cdot 4 \sin^2 a \cdot \cos^2 a} = \frac{2 \cos 2a}{0,5 \sin^2 2a} = \frac{4 \cos 2a}{\sin^2 2a};$$

Ответ: $\frac{4 \cos 2a}{\sin^2 2a}$.

1) Решение:

Задано выражение:

$$\frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a} — \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + a\right)$$

Шаг 1. Преобразуем каждую часть выражения. Начнем с первого слагаемого.

$$\frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a}$$

Мы можем упростить это выражение, записав его как дробь с $\cos a$ в числителе и знаменателе.

$$\frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a} = \frac{\frac{\cos a}{\cos a} + \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\cos a} — \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a}$$

Где $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$ — тангенс угла.

Шаг 2. Теперь рассмотрим второе слагаемое, $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + a\right)$.

Используем формулу для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} a}$$

Поскольку $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, выражение упрощается до:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a}$$

Шаг 3. Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} — \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a}$$

Шаг 4. Видим, что обе части выражения одинаковы, и их разность равна нулю:

$$0$$

Ответ: $0$.

2) Решение:

Задано выражение:

$$\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{2} — a\right) — \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a}$$

Шаг 1. Преобразуем первое слагаемое, используя формулу для тангенса угла, сдвинутого на $\frac{\pi}{2}$:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \operatorname{ctg} a$$

Следовательно,

$$\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \operatorname{ctg}^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}$$

Шаг 2. Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$$\frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a}$$

Используем формулы для двойного угла для косинуса:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} = \frac{1 — (\cos^2 a — \sin^2 a)}{1 + (\cos^2 a — \sin^2 a)} = \frac{1 — \cos^2 a + \sin^2 a}{1 + \cos^2 a — \sin^2 a}$$

Упростим числитель и знаменатель:

$$= \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$

Таким образом, это выражение можно записать как:

$$\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \operatorname{tg}^2 a$$

Шаг 3. Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg}^2 a — \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$

Шаг 4. Приведем выражения к общему знаменателю:

$$\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^4 a — \sin^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a}$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\cos^4 a — \sin^4 a = (\cos^2 a — \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a)$$

Поскольку $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$, выражение упрощается до:

$$\frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\sin^2 a \cos^2 a}$$

Шаг 5. Теперь перепишем $\cos^2 a — \sin^2 a$ как $\cos 2a$, используя формулу для косинуса двойного угла:

$$\frac{\cos 2a}{\sin^2 a \cos^2 a}$$

Шаг 6. Далее, заметим, что можно переписать знаменатель:

$$\sin^2 a \cos^2 a = \frac{1}{4} \sin^2 2a$$

Тогда выражение примет вид:

$$\frac{\cos 2a}{\frac{1}{4} \sin^2 2a} = \frac{4 \cos 2a}{\sin^2 2a}$$

Ответ: $\frac{4 \cos 2a}{\sin^2 2a}$.