ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1296 Алимов — Подробные Ответы

Известно, что tg а + ctg а = 3. Найти tg2 а + ctg2 а.

Найти $\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a$, если $\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a = 3$:

Преобразуем выражение:

$$\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a = (\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a + 2 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a) — 2 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a =$$ $$= (\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 — 2 \cdot \operatorname{tg} a \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} a} = (\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 — 2;$$

Подставим известное значение:

$$(\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 — 2 = 3^2 — 2 = 9 — 2 = 7;$$

Ответ: 7.

1. Исходные данные:

Нам дано, что:

$$\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a = 3.$$

Нужно найти $\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a$.

2. Преобразование выражения:

Для того чтобы найти $\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a$, мы будем использовать формулы для разности квадратов и свойства тангенса и котангенса.

Рассмотрим выражение, которое мы хотим найти:

$$\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a.$$

Мы знаем, что это можно записать как разность квадратов следующего выражения:

$$\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a = (\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 — 2 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a.$$

3. Разбор формулы:

• Сначала заметим, что выражение $(\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2$ в расширенном виде равно:

$$(\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 = \operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a + 2 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a.$$

• Затем, если мы вычтем $2 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a$, получим:

$$\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a = (\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 — 2 \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a.$$

4. Подстановка:

Теперь подставим известное значение $\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a = 3$. Это означает, что:

$$(\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 = 3^2 = 9.$$

Также из определения тангенса и котангенса знаем, что:

$$\operatorname{ctg} a = \frac{1}{\operatorname{tg} a}.$$

Таким образом, произведение $\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a$ можно выразить как:

$$\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a = \operatorname{tg} a \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} a} = 1.$$

5. Финальная подстановка:

Теперь подставим все полученные значения в исходное выражение:

$$\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a = 9 — 2 \cdot 1 = 9 — 2 = 7.$$

6. Ответ:

Таким образом, искомое значение $\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a$ равно:

$$\boxed{7}.$$