ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1295 Алимов — Подробные Ответы

Известно, что tga = 2. Найти значение выражения:

1. $\frac{\sin^2 a + \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a + 3 \cos a \cdot \sin a}$
2. $\frac{2 — \sin^2 a}{3 + \cos^2 a}$

1) $\frac{\sin^2 a + \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a + 3 \cos a \cdot \sin a}$, если $\operatorname{tg} a = 2$;

Разделим числитель и знаменатель дроби на число $\cos^2 a$:

$$\frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} + 3 \cdot \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{tg} a}{1 + 3 \operatorname{tg} a} = \frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{1 + 6} = \frac{6}{7};$$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

2) $\frac{2 — \sin^2 a}{3 + \cos^2 a}$, если $\operatorname{tg} a = 2$;

Разделим числитель и знаменатель дроби на число $\cos^2 a$:

$$\frac{\frac{2}{\cos^2 a} — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{\frac{3}{\cos^2 a} + \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}} = \frac{\frac{2 \cos^2 a + 2 \sin^2 a}{\cos^2 a} — \operatorname{tg}^2 a}{\frac{3 \cos^2 a + 3 \sin^2 a}{\cos^2 a} + 1} = \frac{2 + 2 \operatorname{tg}^2 a — \operatorname{tg}^2 a}{3 + 3 \operatorname{tg}^2 a + 1} =$$ $$= \frac{2 + \operatorname{tg}^2 a}{4 + 3 \operatorname{tg}^2 a} = \frac{2 + 2^2}{4 + 3 \cdot 2^2} = \frac{2 + 4}{4 + 3 \cdot 4} = \frac{6}{4 + 12} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8};$$

Ответ: $\frac{3}{8}$.

Задача 1:

$$\frac{\sin^2 a + \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a + 3 \cos a \cdot \sin a}, \quad \text{если} \quad \operatorname{tg} a = 2$$

Шаг 1: Используем известное значение $\operatorname{tg} a = 2$

Из условия задачи нам известно, что:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} = 2$$

Это означает, что:

$$\sin a = 2 \cos a$$

Таким образом, можно подставить это значение в исходное выражение. Однако, для более простого и удобного вычисления, давайте разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2 a$, чтобы упростить выражение в терминах тангенса.

Шаг 2: Разделим числитель и знаменатель на $\cos^2 a$

Мы делим числитель и знаменатель на $\cos^2 a$:

$$\frac{\sin^2 a + \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a + 3 \cos a \cdot \sin a} = \frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} + 3 \cdot \frac{\sin a}{\cos a}}$$

Теперь у нас появляются выражения с тангенсом. Напомню, что $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$, поэтому мы можем заменить:

$$\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \operatorname{tg}^2 a \quad \text{и} \quad \frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a$$

Подставляем эти выражения в числитель и знаменатель:

$$= \frac{\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{tg} a}{1 + 3 \operatorname{tg} a}$$

Шаг 3: Подставляем значение $\operatorname{tg} a = 2$

Теперь подставим $\operatorname{tg} a = 2$ в полученное выражение:

$$= \frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{1 + 6} = \frac{6}{7}$$

Ответ для первой задачи:

$$\boxed{\frac{6}{7}}$$

Задача 2:

$$\frac{2 — \sin^2 a}{3 + \cos^2 a}, \quad \text{если} \quad \operatorname{tg} a = 2$$

Шаг 1: Используем известное значение $\operatorname{tg} a = 2$

Как и в предыдущей задаче, из условия задачи нам известно, что $\operatorname{tg} a = 2$, то есть:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} = 2 \quad \Rightarrow \quad \sin a = 2 \cos a$$

Также, для упрощения вычислений, разделим числитель и знаменатель на $\cos^2 a$.

Шаг 2: Разделим числитель и знаменатель на $\cos^2 a$

Делим числитель и знаменатель на $\cos^2 a$:

$$\frac{2 — \sin^2 a}{3 + \cos^2 a} = \frac{\frac{2}{\cos^2 a} — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{\frac{3}{\cos^2 a} + \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}}$$

Теперь преобразуем выражения. Мы знаем, что:

$$\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \operatorname{tg}^2 a \quad \text{и} \quad \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} = 1$$

Таким образом, выражение становится:

$$= \frac{\frac{2}{\cos^2 a} — \operatorname{tg}^2 a}{\frac{3}{\cos^2 a} + 1}$$

Шаг 3: Преобразуем числитель

Теперь преобразуем числитель. Мы можем переписать его следующим образом:

$$\frac{2}{\cos^2 a} — \operatorname{tg}^2 a = \frac{2 \cos^2 a + 2 \sin^2 a}{\cos^2 a} — \operatorname{tg}^2 a$$

Пользуясь тождеством $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$, получаем:

$$= \frac{2 \cdot 1}{\cos^2 a} — \operatorname{tg}^2 a = \frac{2}{\cos^2 a} — \operatorname{tg}^2 a$$

Шаг 4: Преобразуем знаменатель

Теперь переходим к знаменателю:

$$\frac{3}{\cos^2 a} + 1 = \frac{3 \cos^2 a + 3 \sin^2 a}{\cos^2 a} + 1 = \frac{3 \cdot 1}{\cos^2 a} + 1 = \frac{3}{\cos^2 a} + 1$$

Шаг 5: Подставляем $\operatorname{tg}^2 a = 2^2 = 4$

Теперь, подставим $\operatorname{tg}^2 a = 4$ и упростим выражение:

$$\frac{2 + 2 \cdot 4 — 4}{3 + 3 \cdot 4 + 1} = \frac{2 + 8 — 4}{3 + 12 + 1} = \frac{6}{16}$$

Ответ для второй задачи:

$$\boxed{\frac{3}{8}}$$

Итоги:

1. Ответ для первой задачи: $\frac{6}{7}$.
2. Ответ для второй задачи: $\frac{3}{8}$.