1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части
Алгебра
10-11 класс учебник Алимов
10 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.
Год
2015-2024.
Издательство
Просвещение.
Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

  1. Четкая структура материала
    Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
  2. Пошаговые объяснения
    Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
  3. Разнообразие упражнений
    В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
  4. Практическая направленность
    Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
  5. Подготовка к ЕГЭ
    Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1294 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Доказать, что если а + b + у = пи, то:

  1. sin а + sin b — sin у = 4 sin a/2sinb/2 cosy/2.
  2. sin 2а + sin 2b + sin 2y = 4 sin a sin 3 sin y.
Краткий ответ:

Доказать, что если α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi, то верно равенство:

1) sinα+sinβsinγ=4sinα2sinβ2cosγ2\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2};

Из условия следует, что:
γ=π(α+β);\gamma = \pi — (\alpha + \beta);
α+β=πγ;\alpha + \beta = \pi — \gamma;

Преобразуем правую часть равенства:
4sinα2sinβ2cosγ2=4sinα2sinβ2cos(π2α+β2)=4sinα2sinβ2sin(α+β2)=4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) =
=4sinα2sinβ2(sinα2cosβ2+sinβ2cosα2)== 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cdot \left( \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \right) =
=4sin2α2sinβ2cosβ2+4sinα2sin2β2cosα2== 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2} =
=2sinβ1cosα2+2sinα1cosβ2== 2 \sin \beta \cdot \frac{1 — \cos \alpha}{2} + 2 \sin \alpha \cdot \frac{1 — \cos \beta}{2} =
=sinβ(1cosα)+sinα(1cosβ)== \sin \beta \cdot (1 — \cos \alpha) + \sin \alpha \cdot (1 — \cos \beta) =
=sinβsinβcosα+sinαsinαcosβ=sinα+sinβsin(α+β)== \sin \beta — \sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha — \sin \alpha \cos \beta = \sin \alpha + \sin \beta — \sin (\alpha + \beta) =
sinα+sinβsin(πγ)=sinα+sinβsinγ;\sin \alpha + \sin \beta — \sin (\pi — \gamma) = \sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma;

Тождество доказано.

2) sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγ\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma;

Из условия следует, что:
α+β=πγ;\alpha + \beta = \pi — \gamma;
α+γ=πβ;\alpha + \gamma = \pi — \beta;
β+γ=πα;\beta + \gamma = \pi — \alpha;

Преобразуем левую часть равенства:
sin2α+sin2β+sin2γ=2sin2α+2β2cos2α2β2+sin2γ=\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 2 \cdot \sin \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cdot \cos \frac{2\alpha — 2\beta}{2} + \sin 2\gamma =
=2sin(α+β)cos(αβ)+sin2γ== 2 \sin (\alpha + \beta) \cdot \cos (\alpha — \beta) + \sin 2\gamma =
=2sin(πγ)cos(αβ)+2sinγcosγ== 2 \sin (\pi — \gamma) \cdot \cos (\alpha — \beta) + 2 \sin \gamma \cdot \cos \gamma =
=2sinγ(cos(αβ)+cosγ)== 2 \sin \gamma \cdot (\cos (\alpha — \beta) + \cos \gamma) =
=2sinγ2cosαβ+γ2cosαβγ2== 2 \sin \gamma \cdot 2 \cos \frac{\alpha — \beta + \gamma}{2} \cdot \cos \frac{\alpha — \beta — \gamma}{2} =
=4sinγcosπ2β2cosα(πα)2== 4 \sin \gamma \cdot \cos \frac{\pi — 2\beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha — (\pi — \alpha)}{2} =
=4sinγcos(π2β)cos(απ2)=4sinγsinβsinα;= 4 \sin \gamma \cdot \cos \left( \frac{\pi}{2} — \beta \right) \cdot \cos \left( \alpha — \frac{\pi}{2} \right) = 4 \sin \gamma \cdot \sin \beta \cdot \sin \alpha;

Тождество доказано.

Подробный ответ:

Задача 1: Доказать, что если α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi, то:

sinα+sinβsinγ=4sinα2sinβ2cosγ2\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}

Шаг 1: Изменение переменных с использованием условия

Из условия задачи нам известно, что:

α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi

Из этого можно выразить γ\gamma как:

γ=π(α+β)\gamma = \pi — (\alpha + \beta)

Таким образом, α+β=πγ\alpha + \beta = \pi — \gamma.

Шаг 2: Преобразуем правую часть равенства

Нам нужно доказать, что:

sinα+sinβsinγ=4sinα2sinβ2cosγ2\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}

Начнем с правой части. Преобразуем cosγ2\cos \frac{\gamma}{2} с учетом γ=π(α+β)\gamma = \pi — (\alpha + \beta):

cosγ2=cos(π2α+β2)\cos \frac{\gamma}{2} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\alpha + \beta}{2} \right)

Используя тригонометрическую формулу cos(π2x)=sinx\cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \sin x, получаем:

cosγ2=sinα+β2\cos \frac{\gamma}{2} = \sin \frac{\alpha + \beta}{2}

Теперь правую часть можно переписать как:

4sinα2sinβ2cosγ2=4sinα2sinβ2sinα+β24 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2}

Шаг 3: Применяем формулу для синуса суммы

Теперь используем формулу для синуса суммы:

sin(α+β2)=sinα2cosβ2+cosα2sinβ2\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}

Таким образом, правую часть можно записать как:

4sinα2sinβ2(sinα2cosβ2+cosα2sinβ2)4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right)

Теперь раскроем скобки:

=4sin2α2sinβ2cosβ2+4sinα2sin2β2cosα2= 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Шаг 4: Используем тригонометрические тождества для упрощения

Применим тождества sin2x=1cos2x2\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} и преобразуем выражения:

=2sinβ1cosα2+2sinα1cosβ2= 2 \sin \beta \cdot \frac{1 — \cos \alpha}{2} + 2 \sin \alpha \cdot \frac{1 — \cos \beta}{2}

Упрощаем:

=sinβ(1cosα)+sinα(1cosβ)= \sin \beta \cdot (1 — \cos \alpha) + \sin \alpha \cdot (1 — \cos \beta)

Шаг 5: Преобразуем и упрощаем выражение

Теперь раскроем скобки:

=sinβsinβcosα+sinαsinαcosβ= \sin \beta — \sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha — \sin \alpha \cos \beta

Это выражение можно записать как:

sinα+sinβsin(α+β)\sin \alpha + \sin \beta — \sin (\alpha + \beta)

Поскольку α+β=πγ\alpha + \beta = \pi — \gamma, мы получаем:

sinα+sinβsin(πγ)=sinα+sinβsinγ\sin \alpha + \sin \beta — \sin (\pi — \gamma) = \sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma

Таким образом, правую часть удалось свести к левой, что доказывает тождество.

Ответ:

sinα+sinβsinγ=4sinα2sinβ2cosγ2\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}

Задача 2: Доказать, что:

sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγ\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

Шаг 1: Изменение переменных с использованием условия

Из условия задачи снова имеем:

α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi

Из этого мы можем выразить γ\gamma как:

γ=π(α+β)\gamma = \pi — (\alpha + \beta)

Таким образом, у нас есть три уравнения:

α+β=πγ,α+γ=πβ,β+γ=πα\alpha + \beta = \pi — \gamma, \quad \alpha + \gamma = \pi — \beta, \quad \beta + \gamma = \pi — \alpha

Шаг 2: Преобразуем левую часть равенства

Нам нужно доказать, что:

sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγ\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

Начнем с левой части. Мы используем формулу для суммы синусов:

sin2α+sin2β=2sin(2α+2β2)cos(2α2β2)\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin \left( \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{2\alpha — 2\beta}{2} \right)

Применяем формулу для синуса и косинуса:

sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(αβ)\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha — \beta)

Теперь добавим sin2γ\sin 2\gamma к полученному выражению:

sin2γ=2sinγcosγ\sin 2\gamma = 2 \sin \gamma \cos \gamma

Теперь левая часть выражения становится:

2sin(α+β)cos(αβ)+2sinγcosγ2 \sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha — \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma

Шаг 3: Преобразуем с учетом α+β=πγ\alpha + \beta = \pi — \gamma

Подставим α+β=πγ\alpha + \beta = \pi — \gamma в выражение:

=2sin(πγ)cos(αβ)+2sinγcosγ= 2 \sin (\pi — \gamma) \cos (\alpha — \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma

Используем тождество sin(πx)=sinx\sin (\pi — x) = \sin x:

=2sinγcos(αβ)+2sinγcosγ= 2 \sin \gamma \cos (\alpha — \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma

Теперь можем вынести 2sinγ2 \sin \gamma:

=2sinγ(cos(αβ)+cosγ)= 2 \sin \gamma \left( \cos (\alpha — \beta) + \cos \gamma \right)

Шаг 4: Применяем формулу для суммы косинусов

Применяем формулу для суммы косинусов:

cosx+cosy=2cos(x+y2)cos(xy2)\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)

Применим эту формулу для cos(αβ)+cosγ\cos (\alpha — \beta) + \cos \gamma:

=2sinγ2cosαβ+γ2cosαβγ2= 2 \sin \gamma \cdot 2 \cos \frac{\alpha — \beta + \gamma}{2} \cos \frac{\alpha — \beta — \gamma}{2}

Это выражение упрощается до:

=4sinγcos(π2β2)cos(α(πα)2)= 4 \sin \gamma \cdot \cos \left( \frac{\pi — 2\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha — (\pi — \alpha)}{2} \right)

Дальше:

=4sinγsinβsinα= 4 \sin \gamma \cdot \sin \beta \cdot \sin \alpha

Таким образом, мы получаем, что:

sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγ\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

Ответ:

sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγ\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma


Задачи для внеклассной работы
Общая оценка
4.5 / 5
Комментарии
Другие предметы
Алгебра
10-10 класс