ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1293 Алимов — Подробные Ответы

Разложить на множители:

1. 1 + cos а + sin а;
2. 1 — cos а — sin а;
3. 3 — 4 sin2 а;
4. 1 — 4 cos2 а

Разложить на множители:

$1 + \cos a + \sin a = (1 + \cos a) + \sin a = 2 \cos^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2} =$

$$= 2 \cos \frac{a}{2} \cdot \left( \cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2} \right) = 2 \cos \frac{a}{2} \cdot \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{a}{2} \right) + \sin \frac{a}{2} \right) =$$ $$= 2 \cos \frac{a}{2} \cdot 2 \sin \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{a}{2} — \frac{a}{2}}{2} = 4 \cos \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \frac{\pi}{4} =$$ $$= 2 \sqrt{2} \cdot \cos \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right);$$

$1 — \cos a — \sin a = (1 — \cos a) — \sin a = 2 \sin^2 \frac{a}{2} — 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2} =$

$$= 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \left( \sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} \right) = 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \left( \sin \frac{a}{2} + \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{a}{2} \right) \right) =$$ $$= 2 \sin \frac{a}{2} \cdot 2 \sin \frac{\frac{a}{2} — \frac{\pi}{2} + \frac{a}{2}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{a}{2} + \frac{\pi}{2} — \frac{a}{2}}{2} = 4 \sin \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{a}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \frac{\pi}{4} =$$ $$= 2 \sqrt{2} \cdot \sin \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{a}{2} — \frac{\pi}{4} \right);$$

$3 — 4 \sin^2 a = 4 — 4 \sin^2 a — 1 = 4 \cos^2 a — 1 = -2 + 1 + 4 \cos^2 a =$

$$= -(2 \sin^2 a + 2 \cos^2 a) + 1 + 4 \cos^2 a = 1 + (2 \cos^2 a — 2 \sin^2 a) =$$ $$= 1 + 2 \cos 2a = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cos 2a = 2 \cdot \left( \cos 2a — \left( -\frac{1}{2} \right) \right) =$$ $$= 2 \cdot \left( \cos 2a — \cos \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot (-2) \cdot \sin \frac{2a + \frac{2\pi}{3}}{2} \cdot \sin \frac{2a — \frac{2\pi}{3}}{2} =$$ $$= -4 \cdot \sin \left( a + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sin \left( a — \frac{\pi}{3} \right);$$

$1 — 4 \cos^2 a = 2 — 1 — 4 \cos^2 a = 2 \sin^2 a + 2 \cos^2 a — 1 — 4 \cos^2 a =$

$$= -1 — (2 \cos^2 a — 2 \sin^2 a) = -1 — 2 \cos 2a = -2 \cdot \frac{1}{2} — 2 \cos 2a =$$ $$= -2 \cdot \left( \cos 2a — \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = -2 \cdot \left( \cos 2a — \cos \frac{2\pi}{3} \right) =$$ $$= -2 \cdot (-2) \cdot \sin \frac{2a + \frac{2\pi}{3}}{2} \cdot \sin \frac{2a — \frac{2\pi}{3}}{2} = 4 \cdot \sin \left( a + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sin \left( a — \frac{\pi}{3} \right);$$

1) $1 + \cos a + \sin a$

Начнем с выражения:

$$1 + \cos a + \sin a$$

Шаг 1: Разделим на две части

Разделим на два слагаемых для удобства работы:

$$(1 + \cos a) + \sin a$$

Шаг 2: Применение формул половинного угла

В следующем шаге воспользуемся формулами для половинного угла:

$$1 + \cos a = 2 \cos^2 \frac{a}{2}$$

Это известно из тригонометрической идентичности:

$$\cos a = 2 \cos^2 \frac{a}{2} — 1$$

Соответственно, $1 + \cos a$ становится:

$$1 + \cos a = 2 \cos^2 \frac{a}{2}$$

Теперь, подставляем это в исходное выражение:

$$2 \cos^2 \frac{a}{2} + \sin a$$

Шаг 3: Разложение $\sin a$ через формулу для синуса двойного угла

Также мы можем использовать формулу для синуса половинного угла для $\sin a$:

$$\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$$

Тогда выражение становится:

$$2 \cos^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$$

Шаг 4: Вынесение общего множителя

Теперь можем вынести общий множитель $2 \cos \frac{a}{2}$:

$$= 2 \cos \frac{a}{2} \cdot \left( \cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2} \right)$$

Шаг 5: Применение формулы для суммы синуса и косинуса

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для суммы синуса и косинуса:

$$\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

Применяем ее к выражению $\cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2}$:

$$\cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2} = \sqrt{2} \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$

Таким образом, выражение превращается в:

$$2 \cos \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 6: Упрощение

Теперь можем упростить это:

$$= 2 \sqrt{2} \cos \frac{a}{2} \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$

Это и есть разложение на множители для первого выражения.

Ответ:

$$1 + \cos a + \sin a = 2 \sqrt{2} \cdot \cos \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$

2) $1 — \cos a — \sin a$

Теперь рассмотрим второе выражение:

$$1 — \cos a — \sin a$$

Шаг 1: Разделим на две части

Разделим на два слагаемых:

$$(1 — \cos a) — \sin a$$

Шаг 2: Применение формулы для $1 — \cos a$

Используем формулу для половинного угла для $1 — \cos a$:

$$1 — \cos a = 2 \sin^2 \frac{a}{2}$$

Теперь выражение примет вид:

$$2 \sin^2 \frac{a}{2} — \sin a$$

Шаг 3: Разложение $\sin a$ через формулу для синуса

Мы уже знаем, что:

$$\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$$

Теперь подставим это в выражение:

$$2 \sin^2 \frac{a}{2} — 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$$

Шаг 4: Вынесение общего множителя

Вынесем общий множитель $2 \sin \frac{a}{2}$:

$$= 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \left( \sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} \right)$$

Шаг 5: Применение формулы для суммы синуса

Используем формулу для суммы синуса:

$$\sin x — \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Применяем ее к выражению $\sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2}$:

$$\sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} = \sqrt{2} \sin \left( \frac{a}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Тогда выражение становится:

$$2 \sin \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \sin \left( \frac{a}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 6: Упрощение

Упрощаем:

$$= 2 \sqrt{2} \sin \frac{a}{2} \sin \left( \frac{a}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Это разложение на множители для второго выражения.

Ответ:

$$1 — \cos a — \sin a = 2 \sqrt{2} \cdot \sin \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{a}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

3) $3 — 4 \sin^2 a$

Теперь разберем третье выражение:

$$3 — 4 \sin^2 a$$

Шаг 1: Преобразование

Перепишем это так:

$$3 — 4 \sin^2 a = 4 — 4 \sin^2 a — 1 = 4 \cos^2 a — 1$$

Шаг 2: Применение формулы для косинуса

Теперь у нас выражение $4 \cos^2 a — 1$, которое можно разложить по формуле для разности квадратов:

$$4 \cos^2 a — 1 = (2 \cos a — 1)(2 \cos a + 1)$$

Таким образом, третье выражение разлагается на множители:

$$3 — 4 \sin^2 a = (2 \cos a — 1)(2 \cos a + 1)$$

Ответ:

$$3 — 4 \sin^2 a = (2 \cos a — 1)(2 \cos a + 1)$$

4) $1 — 4 \cos^2 a$

Рассмотрим последнее выражение:

$$1 — 4 \cos^2 a$$

Шаг 1: Преобразование

Применяем аналогичные шаги, что и в предыдущем примере:

$$1 — 4 \cos^2 a = 2 — 1 — 4 \cos^2 a = 2 \sin^2 a + 2 \cos^2 a — 1 — 4 \cos^2 a$$ $$= -1 — (2 \cos^2 a — 2 \sin^2 a) = -1 — 2 \cos 2a$$

Шаг 2: Разложение по формуле

Используем формулу для разности косинусов:

$$1 — 4 \cos^2 a = -2 \cdot \left( \cos 2a — \cos \frac{2\pi}{3} \right)$$

Разлагаем это по синусам:

$$= -2 \cdot (-2) \cdot \sin \frac{2a + \frac{2\pi}{3}}{2} \cdot \sin \frac{2a — \frac{2\pi}{3}}{2}$$

Таким образом, разложение:

$$1 — 4 \cos^2 a = 4 \cdot \sin \left( a + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sin \left( a — \frac{\pi}{3} \right)$$

Ответ:

$$1 — 4 \cos^2 a = 4 \cdot \sin \left( a + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sin \left( a — \frac{\pi}{3} \right)$$