ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1292 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество

$$= \frac{(\cos x + \sin x) \cdot (\cos x — 1) \cdot (1 + \sin x)}{(1 + \sin x)(\cos x — 1)} =$$ $$= -(\cos x + \sin x) = -\sin x — \cos x;$$

Доказать тождество:

$$\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} — \frac{\sin^2 x}{1 — \cos x} = \frac{\cos^2 x \cdot (1 — \cos x) — \sin^2 x \cdot (1 + \sin x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)} =$$ $$= \frac{\cos^2 x — \cos^3 x — \sin^2 x — \sin^3 x}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)} = \frac{(\cos^2 x — \sin^2 x) — (\cos^3 x + \sin^3 x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)} =$$ $$= \frac{(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x) — (\cos x + \sin x)(\cos^2 x — \cos x \sin x + \sin^2 x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)} =$$ $$= \frac{(\cos x + \sin x) \cdot ((\cos x — \sin x) — (1 — \cos x \cdot \sin x))}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)} =$$ $$= \frac{(\cos x + \sin x) \cdot (\cos x + \cos x \cdot \sin x — 1 — \sin x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)} =$$ $$= \frac{(\cos x + \sin x) \cdot (\cos x \cdot (1 + \sin x) — (1 + \sin x))}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)} =$$ $$= \frac{(\cos x + \sin x) \cdot (\cos x — 1) \cdot (1 + \sin x)}{(1 + \sin x)(\cos x — 1)} =$$ $$= -(\cos x + \sin x) = -\sin x — \cos x;$$

Тождество доказано.

Нам нужно доказать следующее тождество:

$$\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} — \frac{\sin^2 x}{1 — \cos x} = — (\cos x + \sin x)$$

Шаг 1: Объединение дробей в одну

Начнем с того, что приведем выражение с двумя дробями к общему знаменателю. У нас есть дроби:

$$\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} \quad \text{и} \quad \frac{\sin^2 x}{1 — \cos x}$$

Чтобы сложить их, нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение $(1 + \sin x)(1 — \cos x)$. Теперь перепишем каждую дробь с этим знаменателем:

$$\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} = \frac{\cos^2 x (1 — \cos x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)}$$ $$\frac{\sin^2 x}{1 — \cos x} = \frac{\sin^2 x (1 + \sin x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)}$$

Теперь мы можем объединить эти две дроби:

$$\frac{\cos^2 x (1 — \cos x) — \sin^2 x (1 + \sin x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)}$$

Шаг 2: Раскрытие скобок в числителе

Теперь раскрываем скобки в числителе:

$$\cos^2 x (1 — \cos x) = \cos^2 x — \cos^3 x$$ $$\sin^2 x (1 + \sin x) = \sin^2 x + \sin^3 x$$

Подставляем эти выражения в числитель:

$$\frac{\cos^2 x — \cos^3 x — \sin^2 x — \sin^3 x}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)}$$

Шаг 3: Преобразование числителя

Мы видим, что числитель можно разложить на два множителя:

$$\cos^2 x — \sin^2 x \quad \text{и} \quad — (\cos^3 x + \sin^3 x)$$

Это дает нам следующее:

$$\frac{(\cos^2 x — \sin^2 x) — (\cos^3 x + \sin^3 x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)}$$

Шаг 4: Разложение кубов

Давайте теперь разложим $\cos^3 x + \sin^3 x$ по формуле разности кубов:

$$\cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)(\cos^2 x — \cos x \sin x + \sin^2 x)$$

Теперь подставляем это в числитель:

$$\frac{(\cos^2 x — \sin^2 x) — (\cos x + \sin x)(\cos^2 x — \cos x \sin x + \sin^2 x)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)}$$

Шаг 5: Упрощение числителя

Теперь сгруппируем общие множители:

$$\frac{(\cos x + \sin x) \cdot \left( (\cos x — \sin x) — (1 — \cos x \sin x) \right)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)}$$

Мы раскрыли и упрощаем:

$$(\cos x — \sin x) — (1 — \cos x \sin x) = \cos x + \cos x \sin x — 1 — \sin x$$

Таким образом, числитель принимает вид:

$$\frac{(\cos x + \sin x) \cdot \left( \cos x + \cos x \sin x — 1 — \sin x \right)}{(1 + \sin x)(1 — \cos x)}$$

Шаг 6: Выделение общего множителя

Теперь мы можем выделить общий множитель $(1 + \sin x)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(\cos x + \sin x) \cdot (1 + \sin x) \cdot (\cos x — 1)}{(1 + \sin x)(\cos x — 1)}$$

Шаг 7: Сокращение и финальный результат

Теперь можно сократить $(1 + \sin x)$ и $(\cos x — 1)$ в числителе и знаменателе:

$$= — (\cos x + \sin x)$$

Заключение

Таким образом, мы доказали, что:

$$\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} — \frac{\sin^2 x}{1 — \cos x} = — (\cos x + \sin x)$$

Тождество доказано.