ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1291 Алимов — Подробные Ответы

$$\frac{\sin 2a}{2\cdot (1-2{\cos }^{2}a)}+\frac{\sin a\cdot \cos (\pi -a)}{1-2{\sin }^{2}a}$$

Упростить выражение:

$$\frac{\sin 2a}{2 \cdot (1 — 2 \cos^2 a)} + \frac{\sin a \cdot \cos (\pi — a)}{1 — 2 \sin^2 a} = \frac{2 \sin a \cdot \cos a}{2 \cdot (\sin^2 a — \cos^2 a)} + \frac{\sin a \cdot (-\cos a)}{\cos^2 a — \sin^2 a} =$$ $$= -\frac{\sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a — \sin^2 a} — \frac{\sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a — \sin^2 a} = -\frac{2 \sin a \cdot \cos a}{\cos 2a} = -\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = -\operatorname{tg} 2a;$$

Ответ: $-\operatorname{tg} 2a$.

Задано выражение:

$$\frac{\sin 2a}{2 \cdot (1 — 2 \cos^2 a)} + \frac{\sin a \cdot \cos (\pi — a)}{1 — 2 \sin^2 a}.$$

Шаг 1: Разбираем первое слагаемое

$$\frac{\sin 2a}{2 \cdot (1 — 2 \cos^2 a)}.$$

Используем формулу для $\sin 2a$

По формуле удвоенного угла для синуса:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a.$$

Подставим это в первое слагаемое:

$$\frac{2 \sin a \cos a}{2 \cdot (1 — 2 \cos^2 a)}.$$

Теперь сократим 2 в числителе и знаменателе:

$$\frac{\sin a \cos a}{1 — 2 \cos^2 a}.$$

Это выражение будет оставаться как есть, пока мы не перейдем ко второму слагаемому.

Шаг 2: Разбираем второе слагаемое

$$\frac{\sin a \cdot \cos (\pi — a)}{1 — 2 \sin^2 a}.$$

Преобразуем $\cos (\pi — a)$

Используем формулу для косинуса угла $\pi — a$:

$$\cos(\pi — a) = -\cos a.$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{\sin a \cdot (-\cos a)}{1 — 2 \sin^2 a} = -\frac{\sin a \cos a}{1 — 2 \sin^2 a}.$$

Теперь мы имеем два слагаемых:

$$\frac{\sin a \cos a}{1 — 2 \cos^2 a} — \frac{\sin a \cos a}{1 — 2 \sin^2 a}.$$

Шаг 3: Приводим к общему знаменателю

Для того чтобы сложить два дробных выражения, нужно привести их к общему знаменателю. Заметим, что:

• $1 — 2 \cos^2 a = \cos 2a$ (по формуле для $\cos 2a = 1 — 2 \cos^2 a$),
• $1 — 2 \sin^2 a = \cos 2a$ (по формуле для $\cos 2a = 1 — 2 \sin^2 a$).

Таким образом, числители у обоих дробей одинаковые, а знаменатели одинаковы, что позволяет записать сумму как:

$$-\frac{\sin a \cos a}{\cos 2a} — \frac{\sin a \cos a}{\cos 2a}.$$

Шаг 4: Упрощаем выражение

Теперь можно объединить два слагаемых:

$$-\frac{\sin a \cos a + \sin a \cos a}{\cos 2a} = -\frac{2 \sin a \cos a}{\cos 2a}.$$

Шаг 5: Используем формулу для тангенса

Мы знаем, что:

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Таким образом:

$$-\frac{2 \sin a \cos a}{\cos 2a} = -\tan 2a.$$

Ответ:

$$-\operatorname{tg} 2a.$$