ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1290 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (1290—1291).

1. sin2 (а + 8пи) + cos2 (а + 10пи);
2. cos2 (а + 6 пи) + cos2 (а — 4 пи).

$\sin^2(a + 8\pi) + \cos^2(a + 10\pi) = \sin^2 a + \cos^2 a = 1$;

Ответ: 1.

$\cos^2(a + 6\pi) + \cos^2(a — 4\pi) = \cos^2 a + \cos^2 a = 2\cos^2 a$;

Ответ: $2\cos^2 a$.

Задание 1:

$$\sin^2(a + 8\pi) + \cos^2(a + 10\pi) = \sin^2 a + \cos^2 a = 1.$$

Шаг 1: Используем периодичность синуса и косинуса

Функции синуса и косинуса имеют период $2\pi$, то есть:

$$\sin(x + 2\pi) = \sin(x), \quad \cos(x + 2\pi) = \cos(x).$$

Таким образом, можно упростить выражения $\sin(a + 8\pi)$ и $\cos(a + 10\pi)$, используя периодичность:

$$\sin(a + 8\pi) = \sin(a + 4\pi + 4\pi) = \sin(a),$$ $$\cos(a + 10\pi) = \cos(a + 2\pi \cdot 5) = \cos(a).$$

Шаг 2: Подставим упрощенные выражения

Теперь, подставив эти упрощения в исходное выражение:

$$\sin^2(a + 8\pi) + \cos^2(a + 10\pi) = \sin^2 a + \cos^2 a.$$

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество

Из основного тригонометрического тождества знаем, что:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$$

Таким образом, получаем:

$$\sin^2(a + 8\pi) + \cos^2(a + 10\pi) = 1.$$

Ответ для первого задания:

$$1.$$

Задание 2:

$$\cos^2(a + 6\pi) + \cos^2(a — 4\pi) = \cos^2 a + \cos^2 a = 2\cos^2 a.$$

Шаг 1: Используем периодичность косинуса

Как и в первом случае, функция косинуса имеет период $2\pi$, то есть:

$$\cos(x + 2\pi) = \cos(x).$$

Таким образом, можно упростить выражения $\cos(a + 6\pi)$ и $\cos(a — 4\pi)$:

$$\cos(a + 6\pi) = \cos(a),$$ $$\cos(a — 4\pi) = \cos(a).$$

Шаг 2: Подставим упрощенные выражения

Теперь, подставив эти упрощения в исходное выражение:

$$\cos^2(a + 6\pi) + \cos^2(a — 4\pi) = \cos^2 a + \cos^2 a = 2\cos^2 a.$$

Ответ для второго задания:

$$2\cos^2 a.$$

Таким образом, мы получили следующие ответы:

1. $1$,
2. $2\cos^2 a$.