ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 129 Алимов — Подробные Ответы

1. у = |x|1/3;
2. y=|x|5;
3. y= |x|3+1;
4. у = |x|1/5 — 2;
5. у = |х+5|1/3;
6. у = |2х|^-3.

1)

$y = |x|^{\frac{1}{3}}$

Функция является четной:

$$y(-x) = |-x|^{\frac{1}{3}} = |x|^{\frac{1}{3}} = y(x);$$

Если

$x \geq 0$

, тогда

$y = x^{\frac{1}{3}}$

, значит:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

• Функция убывает на
  $(-\infty; 0)$ 

  и возрастает на $(0; +\infty)$ 

  ;

• Функция ограничена снизу;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

2)

$y = |x|^5$

Функция является четной:

$$y(-x) = |-x|^5 = |x|^5 = y(x);$$

Если

$x \geq 0$

, тогда

$y = x^5$

, значит:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

• Функция убывает на
  $(-\infty; 0)$ 

  и возрастает на $(0; +\infty)$ 

  ;

• Функция ограничена снизу;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 1 & 32 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

3)

$y = |x|^3 + 1$

Функция является четной:

$$y(-x) = |-x|^3 + 1 = |x|^3 + 1 = y(x);$$

Если

$x \geq 0$

, тогда

$y = x^3 + 1$

, значит:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 1$ 

  ;

• Функция убывает на
  $(-\infty; 0)$ 

  и возрастает на $(0; +\infty)$ 

  ;

• Функция ограничена снизу;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 9 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

4)

$y = |x|^{\frac{1}{5}} — 2$

Функция является четной:

$$y(-x) = |-x|^{\frac{1}{5}} — 2 = |x|^{\frac{1}{5}} — 2 = y(x);$$

Если

$x \geq 0$

, тогда

$y = x^{\frac{1}{5}} — 2$

, значит:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq -2$ 

  ;

• Функция убывает на
  $(-\infty; 0)$ 

  и возрастает на $(0; +\infty)$ 

  ;

• Функция ограничена снизу;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 32 \\ \hline y & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

5)

$y = |x + 2|^{\frac{1}{3}}$

График данной функции является графиком функции

$y = |x|^{\frac{1}{3}}$

, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 2 единицы влево; Если

$x \geq -2$

, тогда

$y = (x + 2)^{\frac{1}{3}}$

, значит:

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y \geq 0$ 

  ;

• Функция убывает на
  $(-\infty; -2)$ 

  и возрастает на $(-2; +\infty)$ 

  ;

• Функция ограничена снизу;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 6 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

6)

$y = |2x|^{-3}$

Функция является четной:

$$y(-x) = |-2x|^{-3} = |2x|^{-3} = y(x);$$

Если

$x \geq 0$

, тогда

$y = (2x)^{-3}$

, значит:

• Область определения:
  $x \neq 0$ 

  ;

• Множество значений:
  $y > 0$ 

  ;

• Функция возрастает на
  $(-\infty; 0)$ 

  и убывает на $(0; +\infty)$ 

  ;

• Функция ограничена снизу;

График функции:

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) } y = |x|^{\frac{1}{3}}, \quad \text{2) } y = |x|^5, \quad \text{3) } y = |x|^3 + 1, \quad \text{4) } y = |x|^{\frac{1}{5}} — 2, \quad \text{5) } y = |x + 2|^{\frac{1}{3}}, \quad \text{6) } y = |2x|^{-3}. }$$

1)

$y = |x|^{\frac{1}{3}}$

1.1. Четность функции

Чтобы проверить, является ли функция четной, нужно выяснить, выполняется ли условие:

$$y(-x) = y(x).$$

Проверим:

$$y(-x) = |-x|^{\frac{1}{3}} = |x|^{\frac{1}{3}} = y(x).$$

Таким образом, функция является четной, потому что для всех значений

$x$

выполняется

$y(-x) = y(x)$

.

1.2. Область определения

Функция

$y = |x|^{\frac{1}{3}}$

включает выражение

$|x|$

, которое всегда определено для всех действительных

$x$

. Таким образом:

$$D(y) = \mathbb{R}.$$

1.3. Множество значений

• Если
  $x = 0$ 

  , то $y = |0|^{\frac{1}{3}} = 0$ 

  .

• Если
  $x > 0$ 

  , то $y = x^{\frac{1}{3}}$ 

  , и функция возрастает.

• Если
  $x < 0$ 

  , то $y = (-x)^{\frac{1}{3}}$ 

  , и функция также будет иметь положительное значение, равное кубическому корню от положительного числа.

Таким образом, наименьшее значение

$y$

будет равно 0 (при

$x = 0$

), а наибольшее значение будет стремиться к бесконечности при увеличении

$|x|$

. Следовательно:

$$E(y) = [0, +\infty).$$

1.4. Поведение функции на промежутках

• Для
  $x \geq 0$ 

  , $y = x^{\frac{1}{3}}$ 

  , что является возрастающей функцией.

• Для
  $x < 0$ 

  , $y = (-x)^{\frac{1}{3}}$ 

  , что также является возрастающей функцией при $-x > 0$ 

  (по сути, аналогично случаю $x > 0$ 

  ).

Функция возрастает как на

$(-\infty, 0)$

, так и на

$(0, +\infty)$

.

1.5. Ограниченность функции

Функция имеет нижнюю границу:

$y \geq 0$

, так как наименьшее значение достигается при

$x = 0$

. Однако она не ограничена сверху, поскольку

$y \to +\infty$

, когда

$|x| \to +\infty$

.

1.6. Координаты некоторых точек

Для некоторых значений

$x$

вычислим

$y$

:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

1.7. График функции

График функции

$y = |x|^{\frac{1}{3}}$

симметричен относительно оси

$y$

, так как функция четная. Он выглядит как плавная кривая, которая начинается от точки

$(0, 0)$

и возрастает в обе стороны от оси

$Oy$

.

2)

$y = |x|^5$

2.1. Четность функции

Проверим, является ли функция четной:

$$y(-x) = |-x|^5 = |x|^5 = y(x).$$

Функция является четной.

2.2. Область определения

Функция

$y = |x|^5$

определена для всех действительных

$x$

. Таким образом:

$$D(y) = \mathbb{R}.$$

2.3. Множество значений

• 
  $y \geq 0$ 

  , так как $|x|^5 \geq 0$ 

  для всех $x$ 

  .

Значение функции стремится к бесконечности, когда

$|x| \to +\infty$

, и наименьшее значение равно 0 при

$x = 0$

. Следовательно:

$$E(y) = [0, +\infty).$$

2.4. Поведение функции на промежутках

• Для
  $x > 0$ 

  , функция возрастает, так как производная положительна.

• Для
  $x < 0$ 

  , функция также возрастает, так как $y = (-x)^5 = |x|^5$ 

  .

Таким образом, функция возрастает как на

$(-\infty, 0)$

, так и на

$(0, +\infty)$

.

2.5. Ограниченность функции

Функция ограничена снизу, так как

$y \geq 0$

, но не ограничена сверху.

2.6. Координаты некоторых точек

Для некоторых значений

$x$

:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 1 & 32 \\ \hline \end{array}$$

2.7. График функции

График функции

$y = |x|^5$

также симметричен относительно оси

$Oy$

. Он имеет форму плавной кривой, которая начинается от точки

$(0, 0)$

и возрастает с ростом

$|x|$

.

3)

$y = |x|^3 + 1$

3.1. Четность функции

Проверим четность:

$$y(-x) = |-x|^3 + 1 = |x|^3 + 1 = y(x).$$

Функция четная.

3.2. Область определения

Функция

$y = |x|^3 + 1$

определена для всех

$x$

. То есть:

$$D(y) = \mathbb{R}.$$

3.3. Множество значений

• Функция
  $y = |x|^3 + 1$ 

  всегда больше или равно 1, так как наименьшее значение функции достигается при $x = 0$ 

  , где $y = 1$ 

  .

Таким образом:

$$E(y) = [1, +\infty).$$

3.4. Поведение функции на промежутках

• Для
  $x \geq 0$ 

  , функция возрастает, так как $y = x^3 + 1$ 

  .

• Для
  $x < 0$ 

  , функция тоже возрастает, так как $y = (-x)^3 + 1 = |x|^3 + 1$ 

  .

Функция возрастает на

$(-\infty, +\infty)$

.

3.5. Ограниченность функции

Функция ограничена снизу, так как минимальное значение равно 1, но не ограничена сверху.

3.6. Координаты некоторых точек

Для некоторых значений

$x$

:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 9 \\ \hline \end{array}$$

3.7. График функции

График функции

$y = |x|^3 + 1$

будет симметричен относительно оси

$Oy$

, с минимальным значением

$y = 1$

при

$x = 0$

.

4)

$y = |x|^{\frac{1}{5}} — 2$

4.1. Четность функции

Проверим четность:

$$y(-x) = |-x|^{\frac{1}{5}} — 2 = |x|^{\frac{1}{5}} — 2 = y(x).$$

Функция четная.

4.2. Область определения

Функция определена для всех

$x$

, так как

$|x|^{\frac{1}{5}}$

всегда существует. Таким образом:

$$D(y) = \mathbb{R}.$$

4.3. Множество значений

Функция

$y = |x|^{\frac{1}{5}} — 2$

имеет минимум

$y = -2$

при

$x = 0$

, и возрастающее значение на обеих половинах.

Таким образом:

$$E(y) = [-2, +\infty).$$

4.4. Координаты некоторых точек

Для некоторых значений

$x$

:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 32 \\ \hline y & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

4.5. График функции

График функции симметричен относительно оси

$Oy$

, с минимальным значением

$y = -2$

.

5)

$y = |x + 2|^{\frac{1}{3}}$

5.1. Четность функции

Это сдвиг функции

$y = |x|^{\frac{1}{3}}$

на 2 единицы влево. График будет симметричен относительно оси

$y$

, но сдвинут влево на 2 единицы.

5.2. Множество значений

Множество значений будет

$y \geq 0$

.

5.3. График функции

Точки:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -2& -1& 6\\ y& 0& 1& 2\end{array}}$$

6)

$y = |2x|^{-3}$

6.1. Четность функции

Проверим четность:

$$y(-x) = |-2x|^{-3} = |2x|^{-3} = y(x).$$

Функция четная.

6.2. Область определения

Функция определена для всех

$x$

, кроме

$x = 0$

. Таким образом:

$$D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}.$$

6.3. Множество значений

Функция всегда положительна

$y > 0$

, так как возводится в отрицательную степень.

Ответ:

$$\boxed{ \text{1) } y = |x|^{\frac{1}{3}}, \quad \text{2) } y = |x|^5, \quad \text{3) } y = |x|^3 + 1, \quad \text{4) } y = |x|^{\frac{1}{5}} — 2, \quad \text{5) } y = |x + 2|^{\frac{1}{3}}, \quad \text{6) } y = |2x|^{-3}. }$$