ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1289 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество

$$\frac{1-(\sin a+\cos a{)}^2}{\sin a\cdot \cos a-\mathrm{ctg}a}=2{\mathrm{tg}}^{2}a$$

Доказать тождество:

$$\frac{1-(\sin a+\cos a{)}^2}{\sin a\cdot \cos a-\mathrm{ctg}a}=2{\mathrm{tg}}^{2}a;$$

$$\frac{1 — (\sin a + \cos a)^2}{\sin a \cdot \cos a — \operatorname{ctg} a} = 2 \operatorname{tg}^2 a;$$ $$\frac{1-({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+2\sin a\cdot \cos a)}{\sin a\cdot \cos a-\frac{\cos a}{\sin a}}=2{\mathrm{tg}}^{2}a;$$

$$\frac{1 — (\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a)}{\sin a \cdot \cos a — \frac{\cos a}{\sin a}} = 2 \operatorname{tg}^2 a;$$ $$(1-1-2\sin a\cdot \cos a):\frac{{\sin }^{2}a\cdot \cos a-\cos a}{\sin a}=2{\mathrm{tg}}^{2}a;$$

$$(1 — 1 — 2 \sin a \cdot \cos a) : \frac{\sin^2 a \cdot \cos a — \cos a}{\sin a} = 2 \operatorname{tg}^2 a;$$ $$-2\sin a\cdot \cos a\cdot \frac{\sin a}{\cos a\cdot ({\sin }^{2}a-1)}=2{\mathrm{tg}}^{2}a;$$

$$-2 \sin a \cdot \cos a \cdot \frac{\sin a}{\cos a \cdot (\sin^2 a — 1)} = 2 \operatorname{tg}^2 a;$$ $$2\cdot \frac{{\sin }^{2}a}{1-{\sin }^{2}a}=2{\mathrm{tg}}^{2}a;$$

$$2 \cdot \frac{\sin^2 a}{1 — \sin^2 a} = 2 \operatorname{tg}^2 a;$$ $$2\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}=2{\mathrm{tg}}^{2}a;$$

$$2 \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = 2 \operatorname{tg}^2 a;$$ $$2 \operatorname{tg}^2 a = 2 \operatorname{tg}^2 a;$$

Тождество доказано.

Задано тождество:

$$\frac{1 — (\sin a + \cos a)^2}{\sin a \cdot \cos a — \operatorname{ctg} a} = 2 \operatorname{tg}^2 a$$

Шаг 1: Раскрытие квадрата в числителе

Начнем с раскрытия квадрата в числителе:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cos a.$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{1 — (\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cos a)}{\sin a \cdot \cos a — \operatorname{ctg} a}.$$

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество

Из основного тригонометрического тождества знаем, что:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$$

Тогда числитель преобразуется в:

$$1 — (1 + 2 \sin a \cos a) = 1 — 1 — 2 \sin a \cos a = -2 \sin a \cos a.$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{-2 \sin a \cos a}{\sin a \cdot \cos a — \operatorname{ctg} a}.$$

Шаг 3: Преобразуем знаменатель

Используем определение котангенса $\operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a}$. Тогда знаменатель можно записать как:

$$\sin a \cdot \cos a — \frac{\cos a}{\sin a}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\sin a \cdot \cos a — \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\sin^2 a \cdot \cos a — \cos a}{\sin a}.$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{-2 \sin a \cos a}{\frac{\sin^2 a \cdot \cos a — \cos a}{\sin a}}.$$

Шаг 4: Умножаем на обратную величину

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sin a$:

$$= \frac{-2 \sin^2 a \cos a}{\sin^2 a \cos a — \cos a}.$$

Шаг 5: Вынесем $\cos a$ за скобки

В числителе и знаменателе можно вынести $\cos a$ как общий множитель:

$$= \frac{-2 \sin^2 a \cos a}{\cos a (\sin^2 a — 1)}.$$

Теперь сократим $\cos a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos a \neq 0$):

$$= \frac{-2 \sin^2 a}{\sin^2 a — 1}.$$

Шаг 6: Используем тригонометрические преобразования

В числителе у нас есть $\sin^2 a$, а в знаменателе $\sin^2 a — 1$, что равно $-\cos^2 a$ (по основному тригонометрическому тождеству). Подставим это:

$$= \frac{-2 \sin^2 a}{-\cos^2 a} = 2 \cdot \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}.$$

Шаг 7: Упростим до тангенса

Напоминаем, что $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$, значит $\operatorname{tg}^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$. Тогда выражение становится:

$$2 \operatorname{tg}^2 a.$$

Шаг 8: Заключение

Мы получаем, что:

$$\frac{1 — (\sin a + \cos a)^2}{\sin a \cdot \cos a — \operatorname{ctg} a} = 2 \operatorname{tg}^2 a.$$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ:

Тождество доказано.